Zusatz i. Nimmt man AE = EC und BD = CD, so 
verhalt sich auch AE : EC = BD : CD, und es ist nach unserm 
Satze AF = BF, Halbirt man demnach die drey Seiten eines 
Dreyecks, und verbindet die Theilungspunkte mit den Scheiteln der 
gegenüberstehenden Winkel durch gerade Linien, so schneiden sich diese 
drey Verbindungslinien in demselben Punkte. — Wie laßt sich dieser 
Satz ohne Voraussetzung unsers obigen Lehrsatzes direkt nachweisen?; 
Zusatz 2. Unter der Voraussetzung, daß AE — EC, und 
BD = DC, ist DE — ^ AB, und dann erhalten wir, weil daS 
A DOE cs? A ABO ist, 
DO : AO = DE : AB == f AB : AB = 1 : 2, und 
EO : BO == DE : AB = ± AB : AB = 1 : 2, also 
AO ---- 2. DO, mithin AD — 3. DO, und 
BO =3 2. EO, also BE = 3. EO, demnach 
DO : AO : AD = 1 : 2 : 3, und eben so 
EO : BO : BE = 1:2:3, und 
FO : CO : CF = 1 : 2 : 3. 
§. 55. 
Lehrsatz. Errichtet man über derselben Grundlinie zwey Drey 
ecke von der Beschaffenheit, daß die beyden Seiten, welche sich durch 
schneiden, im Durchschnittspunkte O in proportionale Theile getheilt 
werden; so liegt dieser Punkt, der Durchschnittspunkt der beyden an 
dern Seiten und der Mittelpunkt der gemeinschaftlichen Basis in der 
selben geraden Linie. 
§. 56. 
Lehrsätze. 1) Halbirt man die drey Winkel eines Dreyecks 
durch gerade Linien; so durchschneiden sich diese drey Geraden in dem 
selben Punkte. 
2) Errichtet man in den Mittelpunkten der drey Seiten auf diese 
Perpendikel; so durchschneiden sich diese alle drey in einem und dem 
selben Punkte. 
Hier hat man drey Fälle zu unterscheiden, denn der erwähnte 
Durchschnittspunkt fällt entweder in das Dreyeck, oder außer das 
Dreyeck, oder auf den Umfang des Dreyecks. 
3) Die drey Perpendikel aus den Winkeln eines Dreyecks auf 
märn