Dann aber verhält sich IK : KF = HK : CK = 1:2, 
folglich ist auch KF -s 2. IK w. z. b. w. 
§. 53. 
Lehrsatz. Zieht man durch einen beliebigen Punkt M inner 
halb eines Dreyecks ABC und durch die drey Scheitel der Winkel desselben 
gerade Linien, welche verlängert die Seiten durchschneiden, mithin jede 
derselben in zwey Segmente theilen, welche wir, nach derselben Rich 
tung im Umfange fortgehend, mit x und x', y und y', z und z' be 
zeichnen wollen; so ist das Produkt der drey Abschnitte x, y und z 
dem Produkte der drey andern Segmente x', y' und z' gleich, näm 
lich es ist Xyz --- x'y'z'. 
Beweis. Man ziehe zum Behufe des Beweises durch den 
Scheitel eines Winkels, z. B. durch C, eine Gerade parallel zur ge 
genüber stehenden Dreyecksseite, verlängere die beyden Geraden AM! 
und BM, bis sie jene Parallele treffen, u. s. w. 
Daß wir uns hier alle Linien durch Zahlen ausgedrückt, mithin 
auf dieselbe Lineareinheit bezogen denken müssen, versteht sich wohl 
von selbst. 
§. 69. 
Aufgabe. Die drey Perpendikel aus den drey Ecken eines 
Dreyecks auf die gegenüberstehenden Seiten sind gegeben; man soll das 
Dreyeck konstruiren. 
Auflösung. Es seyen «, ß, y die drey gegebenen Perpen 
dikel. Man konftruire einen beliebigen Winkel NMS, mache NM = «, 
schneide darauf MP = /3, und auf dem andern Schenkel MS ein 
Stück MQ =5 y ziehe die Gerade Ptz, und zu dieser parallel 
die Gerade N 8, welche den Schenkel M 8 in 8 trifft. 
Nun beschreibe man über der Geraden MN ein A MNC, in 
welchem die Seite MC = 7 und die Seite NC = MS ist; falle 
aus C das Perpendikel CF aus MN, schneide von diesem, nöthigen 
Falls verlängert, von C aus ein Stück CO y ab, und ziehe 
durch O eine Gerade parallel zur MN, bis sie von den verlängerten 
Seiten CM und CN in A und B geschnitten wird, so ist dann das 
A A B C das verlangte Dreyeck. Denn u. s. w.