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et si un témoin annonce que la boule sortie de A porte le n° n, les pro 
babilités de ces hypothèses prendront les valeurs <zêr,, <zêr a , <sr 3 ,. . „^z«r OT . 
qu’il s’agira de déterminer par la règle du n° 34. Ici l’événement ob 
servé sera l’annonce, parle témoin, de la sortie du n° n; chacune des hy 
pothèses donnera une certaine probabilité à cet événement, dont il 
faudra d’abord formerl’expression ; on représentera par p tf p a , p 3 ,.. .p m , 
ses probabilités résultantes des m hypothèses; et d’après ces diverses 
notations, C,, q t , p if répondront à la sortie d’un numéro quelcon 
que/, et, en particulier, Cp ni à la sortie du n°« annoncé 
par le témoin. 
Je désigne par u la probabilité que ce témoin ne se trompe pas, et 
par v la probabilité qu’il ne veut pas tromper ; 1 — u sera la probabi 
lité qu’il se trompe, et 1 — v qu’il veuttromper. Dans la n lèmt hypothèse, 
c’est-à-dire, dans la supposition que n est réellement le numéro extrait 
de A, le témoin annoncera la sortie de ce numéro, s’il ne trompe pas 
et s’il ne veut pas tromper, combinaison dont la probabilité est uv par 
la règle du n° 5. S’il se trompe, il croira que la boule sortie de A porte 
un numéro quelconque ?i' différent de n \ et en même temps, s’il veut 
tromper, il annoncera un numéro différent de tz', ou pris parmi les 
rn — 1 autres numéros ; la chance qui en résultera pour le n° n' 
d’être précisément celui que le témoin annoncera, sera donc ^—-, 
en admettant, toutefois, que le témoin n’ait aucune prédilection pour 
un numéro plutôt que pour un autre ; par conséquent, d’après la règle 
citée, la probabilité que ce numéro sera annoncé par un témoin qui se 
trompe et qui veut tromper, aura pour valeur le produit des trois frac 
tions 1 —m, 1 — . Soit que le témoin se trompe et ne veuille 
pas tromper, soit qu’il ne se trompe pas et veuille tromper, le témoin 
n’annoncera pas la sortie du n° tz; car, dans le premier cas, il voudra 
annoncer le numéro qu’il croira sorti et qui ne sera pas le n° n, et, 
dans le second, il saura que ce numéro est sorti et ne voudra pas 
l’annoncer. De toute cette discussion et d’après la règle du n° xo, on 
conclut 
P» = uv 4- 
(! — “)( 1 — V) 
m — 1