52 RECHERCHES
Appelons toujours E et F les événements contraires, d’une nature
quelconque, dont l’un des deux aura lieu à chaque épreuve. Suppo
sons, en premier lieu, que leurs probabilités soient constantes et don
nées; et représentons, dans chaque épreuve, par p la chance de E et
par q celle de F. Désignons aussi par p le nombre total des épreuves,
par m le nombre de fois que E arrivera, par n le nombre de fois
que F aura lieu. Nous aurons
p q = i, m n = p.
La probabilité que ces m et n arrivées de E et F auront lieu dans un
ordre déterminé, est indépendante de cet ordre particulier, et égale
à p m q n (n° 7); par conséquent, si l’on appelle n la probabilité quelles
auront lieu dans un ordre quelconque, et K le nombre de manières
différentes, dont m événements E et n événements F peuvent se suc
céder dans un nombre p d’épreuves, on aura, d’après la règle
du n° 10,
n == K p m q n .
Pour déterminer K, je suppose d’abord que les// événements qui
doivent avoir lieu soient tous différents, et je les désigne par les
lettres A, B, C, D, etc. Ce nombre K sera alors celui des permuta
tions que l’on peut faire subir à p lettres disposées comme les fac
teurs d’un produit ; or, il aura pour valeur
t .2.5... p — 1. p ;
car si on le représente par K' pour p — 1 lettres , et qu’on ajoute en
suite une lettre de plus, celle-ci pouvant occuper p places distinctes
dans chacune des permutations de p— 1 lettres, il en résultera pK'
pour le nombre de permutations de //lettres; et comme ce nombre
est l’unité quand p = 1, il s’ensuit qu’il sera successivement 1.2,
i.2.5, 1.2.5.4, etc., pour p=2,= 5, = 4> etc * Maintenant,
si un nombre m des lettres A, B, C, D, etc, représentent un même
événement E, celles de leurs permutations qui ne diffèrent que par
les places de E seront aussi les mêmes ; ce qui réduira le nombre des
permutations distinctes, au produit précédent, divisé par le nombre