54 RECHERCHES 
est un nombre pair, et l’un des deux qui répondent à m — n= rhi, 
quand p, est un nombre impair. 
(15) . Soit P la probabilité que E arrivera au moins m fois dans le 
nombre [x d’épreuves. Cet événement composé pourra avoir lieu de 
m + i manières différentes, savoir, lorsque E arrivera les nombres 
de fois fx f /x — i, fx — 2,... et enfin [a — n ou m ; les probabilités 
relatives à ces m -f- î manières se déduiront de l’expression précé 
dente de n, en mettant successivement /x et zéro, u — i et i, /a — i, 
et 2 ,... jusqu’à m et n, au lieu de ces deux derniers nombres ; d’après 
la règle du n° io, la valeur complète de P sera donc la somme de 
ces n -f- i probabilités partielles; et, par conséquent, on aura 
P =f+ PP 1 “ 1 + ^7“ P* 
X.fC ~ 2. . •/*— n -f- I . 
1.2.3.7. n P V ’ 
de sorte que P sera la somme des zz —{— i premiers termes du déve 
loppement de (p -f- qY , ordonné suivant les puissances croissantes 
de q. 
Pour m = o, ou n = u, on aura 
P = (P + qY = i; 
ce qui doit être, en effet, puisqu’alors l’événement composé com 
prenant toutes les combinaisons de E et F qui peuvent arriver, sa pro 
babilité P doit être la certitude. Pour m = i, cet événement est le 
contraire de l’arrivée de F à toutes les épreuves; et, effectivement, 
la valeur de P est, dans ce cas, le développement entier de (p-hq)/*, 
moins son dernier terme q 1 *; ce qui s’accorde avec la valeur de r 
du n° 8. 
Si fx est un nombre impair ii *+- i, et si l’on demande la probabilité 
que E arrivera plus souvent que F, on la déduira de l’expression gé 
nérale de P, en y faisant m = i -f- i et n = i. Si fx est un nombre 
pair 2z, on obtiendra la probabilité que E arrivera au moins autant 
de fois que F, en faisant m =zn = i, dans cette même expression. 
(16) . On déduit aussi de cette formule la solution du premier pro-