55 
SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 
blême de probabilité que l’on ait résolu, que nous avons indiqué au 
commencement de cet ouvrage, et qui est connu sous le nom de 
problème des partis. Deux joueurs A et B jouent ensemble à un jeu 
quelconque, où l’un des deux doit gagner un point à chaque coup; 
p est la probabilité de A , q celle de B, pour gagner ce point; il reste 
à A un nombre a et à B un nombre b de points à prendre pour gagner 
la partie. On demande la probabilité et que ce sera A qui gagnera, ou 
la probabilité G que ce sera B. L’un de ces deux événements contraires 
devant nécessairement arriver, la somme £ sera l’unité, et l’on 
aura seulement et à déterminer. 
Observons d’abord que la partie sera terminée en un nombre de 
coups qui ne saurait excéder a-\-b —i ; car dans ce nombre de coups, 
il arrivera nécessairement que A aura gagné au moins un nombre a 
de points, ou que B en aura gagné au moins un nombre b. De plus, 
sans rien changer à leurs chances respectives de gagner la partie, les 
deux joueurs peuvent convenir de jouer ce nombre a -f- b — 1 de 
coups; cardans cette série de coups, un seul joueur pourra prendre 
le nombre de points dont il a besoin : selon que A aura pris a points 
avant que B en ait pris b, ou que B en aura pris un nombre b avant 
que A en ait pris a, ce sera A ou B qui aura gagné la partie, quelque 
chose qui arrive ensuite. Pour déterminer les chances a et G, nous 
pouvons donc supposer qu’il sera toujours joué le nombre a -J- b— i 
de coups. Alors cl sera la probabilité que sur ce nombre d’épreuves, 
un événement E dont la chance est p à chaque épreuve, arrivera au 
moins un nombre de fois <2; par conséquent, sa valeur se déduira de 
l’expression précédente de P, en y faisant 
/a — a -j- b — 1, 111 = a, n = b — 1. 
Si l’on a , par exemple, 
2 I /7 
p = g, cj z== - , a =. 4 , b z= 2, 
on trouvera 
a 112 g 131 ^ 
243 ’ 243 ’ 
et G surpassant a, il s’ensuit qu’un joueur A dont l’habileté est double