434 XIV. Lineare Systeme von Kegelschnitten. 269.
also S 1 — 0, S 2 = 0 die Gleichungen von zwei Kegelschnitten
symbolisch bezeichnen, so kann die Gleichung jedes Kegel
schnittes, welcher die vier Schnittpunkte jener en thält, in der Form
S x — kS 2 = 0
dargestellt werden. Und umgekehrt definiert jede quadratische
Gleichung, welche einen Parameter linear enthält, einen durch
vier gegebene Punkte gehenden Kegelschnitt*).
Gibt man dem Parameter alle möglichen Werte, so bildet
die Gesamtheit der Kegelschnitte S 1 — kS 2 — 0 ein Kegel
schnittbüschel; die vier allen gemeinsamen Punkte heifsen die
Grundpunkte desselben. Furch jeden Punkt der Ebene geht
ein Kegelschnitt des Büschels, denn ein Parameterwert k' wird
dadurch bestimmt, dafs die Gleichung durch die Coordinaten x{
irgend eines fünften Punktes befriedigt sein soll.
269. Polar enbüschel. Wenn man die Gleichung der Polare
eines Punktes in Bezug auf den Kegelschnitt S x — kS 2 = 0
bildet (§ 157), so enthält sie den Parameter k ebenfalls linear.
Daher bilden die Polaren eines Punktes in Bezug auf die
Kegelschnitte eines Büschels selbst ein Strahlenbüschel, dessen
Scheitel der zu dem gegebenen in Bezug auf das Büschel doppelt
conjugirte Pol heifst. Man erkennt in diesem Satze eine nur
formale Erweiterung derselben Erörterung über das Kreis
büschel (§ 125).
Zunächst erhellt daraus die geometrische Bedeutung des
Parameters k als einer Proportionalzahl zum Sinusteilver
hältnis im Polarenbüscliel irgend eines Punktes. Sind ins
sondere T l — 0, T 2 = 0 die Tangenten an S t = 0, S 2 = 0
in einem der Grundpunkte, so ist T x — kT 2 = 0 die Tan
gente an S x — k S 2 = 0 in demselben. Es ist also S, : S 2
= T 1 : T 2 = k, wenn man in die Functionen die Coordinaten
*) In derselben Art enthält die allgemeine Gleichung eines Kegel
schnittes, welcher drei Bedingungen unterliegt, zwei unabhängige Con-
stante, etc. Die Gleichungen der Orthogonalkreise eines gegebenen
Kreises (§ 128) und der Kreise durch einen Punkt geben dazu Bei
spiele (vgl. § 283, 315). Aber die Kegelschnittsgleichungen, die zwei
lineare Parameter enthalten, definiren nicht umgekehrt stets Curven
durch drei Punkte.
