436 XIV. Lineare Systeme von Kegelschnitten. 271. 
bestehen oder selbst complexe Gleichungen haben. Einer der 
beiden ersten Fälle tritt ein, wenn die cubische Gleichung drei 
reelle, der letzte, wenn sie eine reelle und zwei complexe 
Wurzeln besitzt. Eine nähere geometrische Unterscheidung 
dieser Fälle folgt unten; für die algebraische ist auf Lehr 
bücher der Algebra etc. zu verweisen. 
271. Gemeinsames Polardreieck. Da die harmonische 
Beziehung zwischeu Pol und Polare durch ein dem Kegel 
schnitt eingeschriebenes Viereck vermittelt werden kann 
(§ 158), so sind in dem Diagonaldreieck P 1 P 2 P 3 des Vierecks 
der Grundpunkte jede Ecke P, etc. und die Gegenseite 
P 2 P 3 , etc. Pol und Polare in Bezug auf jeden Kegelschnitt, 
der durch die Grundpunkte geht. Das Dreieck P 1 P 2 P 3 ist 
somit in Bezug auf alle Kegelschnitte des Büschels ein ge 
meinsames Polardreieck (§ 159). 
Es gibt aber auch nicht mehr als drei Punkte, welche 
in Bezug auf die Kegelschnitte des Büschels dieselbe Polare 
haben. Denn sind P, = 0, P 2 = 0 die Polaren von x' \ y' 
in Bezug auf == 0, S 2 — 0, so mufs identisch P x =zP 2 
sein, damit jene Polaren unter einander, also auch mit 
P x — nP 2 — 0 identisch seien. Daher mufs x' | y' bestimmt 
werden, aus den drei in jc linearen Bedingungen, dafs die 
Coefficienten von x, von y und die constanten Glieder in P x 
und P 2 proportional seien. Dies ist aber nur möglich, wenn 
die Determinante dieser drei Gleichungen verschwindet, d. h. 
n aus einer Gleichung dritten Grades bestimmt wird*). 
Jedes Kegelschnittbüschel besitzt in dem Diagonaldreieck des 
Vierecks der Grundpunkte das einzige gemeinsame Polardreieck. 
Dies Diagonaldreieck ist reell, sobald alle Grundpunkte 
gleichzeitig reell oder imaginär sind. Für den Fall imagi 
närer Grundpunkte können diese, da sie paarweise conjugirt 
imaginär sind, nach der Bezeichnungsweise des § 16 durch 
x i\Vu x i\Vi j x Ay%i x 21 dargestellt werden. Die Träger 
*) Man überzeugt sich leicht, dafs diese Bedingungsgleichung iden 
tisch ist mit der aus der Einsetzung von a ik — % l> i k in die Discrimi 
nante D = 0.