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XXL Von den reciproken Verwandtschaften. 412. 
ecks schneiden sich in der Di- benen Dreiecks schneiden sich in 
rectrix. der Curve. 
3) Man leite den letzten Satz aus dem von Pascal ab. 
(Vgl. § 285, 3.) 
412. Reciproke Kegelschnittsysteme. Durch die polar- 
reciproke Umformung gehen die punctuell-linearen Curven- 
systeme aller Stufen in tangentiell-lineare Systeme derselben 
Stufen über (§ 283). Sehr häufig kann man durch geeignete 
Wahl des Ursprungs dem reciproken System einen speciellen 
Charakter gehen, der die Untersuchung desselben übersicht 
licher werden läfst. 
Allen Kegelschnitten mit einem gemeinsamen reellen Punkt 
entsprechen für diesen als Ursprung gleichzeitig Parabeln. 
Allen Kegelschnitten mit zwei reellen oder imaginären ge 
meinsamen Tangenten entsprechen für deren Schnittpunkt als 
Ursprung gleichzeitig Kegelschnitte mit parallelen Axen und 
Asymptoten, d. h. homotlietische Kegelschnitte. 
Die Reciproken von irgend zwei Kegelschnitten können 
concentriseli gemacht werden, indem man eine Ecke ihres ge 
meinsamen Polardreiecks als Ursprung nimmt. Jedes Büschel 
oder jede Schaar entspricht so einer Schaar oder einem Büschel 
concentrischer Kegelschnitte, deren Grundelemente ein Parallelo 
gramm bilden. 
Die reciproken Umformungen beliebiger Kreissysteme 
geben das Mittel, Eigenschaften von Kegelschnitten zu er 
kennen, welche einen gemeinsamen Brennpunkt besitzen (§ 24G). 
Zu den Kreisen eines Büschels ohne reelle Schnittpunkte läfst 
sich stets ein Punkt finden, für welchen als Ursprung die 
reciproken Curveu derselben confocale Kegelschnitte werden. 
Denn diese Reciproken werden confocal, sobald sie einen ge 
meinschaftlichen Mittelpunkt haben. Also mufs der Ursprung 
in Bezug auf die Kreise die nämliche Polare haben, d. h. er 
mufs einer der beiden Grenzpurikte des Büschels sein. 
B. 1) Confocale Kegelschnitte 
schneiden einander rechtwinklig. 
(§ 247.) 
DiegemeinschaftlickeTangente 
von zwei Kreisen bestimmt an 
jedem der Grenzpunkte einen 
rechten Winkel.