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XXL Von den reciproken Verwandtschaften. 415. 
Gesetzen in sehr verschiedenen Arten hergestellt werden. 
Alle diese Arten gehen Anlafs zur Transformation von Figuren 
in andere Figuren und zur Übertragung der auf jene bezüg 
lichen Sätze auf diese, somit zur Erkenntnis neuer geo 
metrischer Wahrheiten. 
Im Anschlufs an die circulare Polarreciprocität ist es 
leicht genug, ein Entsprechen von Punkten ganz analog zu 
begründen, wie hier das Entsprechen von Pol und Polare. 
Der Fufspunkt der Polare in dem Durchmesser des Pols 
kann als dem letztem entsprechend angesehen werden; dann 
gilt das Gesetz: Entsprechende Punkte liegen auf einerlei 
Durchmesser der Directrix, und das Product ihrer Abstände 
vom Centrum ist constant. Damit kommen wir zurück auf 
die in § 137 — 139 betrachtete Verwandtschaft der circularen 
Inversion oder der reciproken Radien Vectoren. 1(U ) 
Inverse Punkte sind auch doppelt reciproke Elemente in 
jeder Reciprocität, welche den Inversionkreis und irgend einen 
concentrischen Kreis als Ordnungscurve besitzt 162 ) (§ 398 und B.). 
Das involutorische Tripel besteht aus dem Inversionscentrum 
und den absoluten Richtungen, d. h. diesen sind alle Punkte 
der reciproken Dreiecksseiten doppelt reciprok oder invers 
(§ 137). 
Infolge der quadratischen Substitution wird die Inverse 
einer Curve n ter Ordnung von der Ordnung 2n im allgemeinen. 
Man übersieht sofort, dafs diese Ordnung sich stets dann er 
niedrigt, wenn die Originalcurve durch Ecken des Tripels 
geht. Denn, so oft dies geschieht, sondert sich von der Curve 
2w ter Ordnung eine Seite des Tripels ab; nur der von dem 
Tripel unabhängige Teil dieser zerfallenden Curve entspricht 
der Curve n ter Ordnung eindeutig. Zu einem Kegelschnitt ist 
die Inverse im allgemeinen eine Curve vierter Ordnung; zu 
einem Kreise, da er die absoluten Richtungen enthält, nur 
wieder ein Kreis; zu einem Kreise durch das Inversionscentrum 
nur noch eine Gerade. 
Bilden wir in Bezug auf denselben festen Kreis 0 zu 
einer gegebenen Curve gleichzeitig die Polarreciproke und 
die Inverse, so ist auf jeder Tangente der ersteren ein Punkt