Inversion oder reciproke RadiSn. 
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der letzteren der Fufspunkt der vom Centrum 0 auf sie ge 
fällten Normale: Die Inverse ist die Fufspunktcurve der Polar- 
reciproken für das Centrum des gemeinsamen Directrixkreises. 
So ist die Fufspunktcurve eines Kegelschnittes für einen der 
Brennpunkte der Scheitelberührungskreis (§ 203). 
Neben der Eigenschaft der Inversion, Winkelgröfsen nicht 
zu ändern (§ 139), tritt als die wichtigste diejenige auf, 
Doppelverhältnisse am Kreise nicht m ändern. Nennt man 
das Doppelverhältnis von vier Punkten eines Kreises geradezu 
das Doppelverhältnis des Kreisvierecks, so kann man den 
Satz so aussprechen: Inverse Kreisvierecke sind doppelverhältnis 
gleich. Damit können projectivische Relationen von geraden 
Reihen und von Strahlbüscheln auf circulare Reihen und Kreis 
büschel übertragen werden. 
Den Beweis liefert der Satz des § 309, dafs Strahlen 
eines Büschels einen Kegelschnitt in Punktepaaren einer In 
volution schneiden, dessen specielle Anwendung auf den Kreis 
schon § 135 enthält. Nun haben offenbar vier Punkte eines 
Kreises und die auf den Inversionsstrahlen ähnlich gelegenen 
Punkte des inversen Kreises gleiche Doppelverhältnisse, denn 
diese werden durch ähnlich gelegene Strahlbüschel gemessen. 
Mit den letzteren sind aber die vier inversen Punkte in- 
volutorisch, nämlich perspectivisch zu einer und derselben 
Reihe in der Polare von 0 in Bezug auf den inversen Kreis 
(§ 137). Endlich haben vier Punkte einer Geraden und die 
entsprechenden auf dem durch 0 gehenden inversen Kreise 
als gemeinsames Doppelverhältnis dasjenige ihrer Inversions 
strahlen. 
B. l) Aus den Substitutionen x : y : 1 — x': y': x' 2 -f- y' 2 
folgt die einfache Beziehung complexer Coordinatenverbindungen 
iy 
® + %y 
Schreibt man CC-^ • tZ/g J $2 • für x — iy | x -f- iy und xf: xf | xf: xf 
für x -j- iy' j x — iy , d. h. führt man das involutorische Tripel 
als Fundamentaldreieck ein, so erhält man die symmetrischen 
homogenen Substitutionen der Inversion als 
fff 
/y> • rp ... — rp rp • rp rp • rp rp 
j • tA/g • iA/g 1^2 • lA'g iA/1 • J iAs’2 •