Die Methode der reciproken Coordinateli. 
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folgt nach der Theorie der reciproken Polaren: Die Schnittpunkte 
der drei Normalen, die man im Punkte 0 auf seinen Verbindungs 
linien mit den Ecken eines Dreiecks ABC errichten kann, mit 
den Gegenseiten des Dreiecks, liegen in einer Geraden. Durch 
Inversion mit dem Centrum 0 folgt: Wenn man auf den gemein 
schaftlichen Sehnen OM, OB, OC von drei in 0 sich schneiden 
den Kreisen in 0 Normalen errichtet, so liegen ihre zweiten 
Schnittpunkte mit den entsprechenden Kreisen auf einem durch 0 
gehenden Kreise. Die abermalige Bildung der Reciprocalfigur mit 
dem Ursprung 0 gibt: Wenn drei Parabeln von einerlei Brenn 
punkt von je zwei Seiten desselben Dreiecks berührt werden, so 
berühren die zu diesen Seiten senkrechten Tangenten der ent 
sprechenden Parabeln eine und dieselbe Parabel vom nämlichen 
Brennpunkt. 
416. Methode der reciproken Coordinaten. Um ein im 
allgemeinen eindeutiges Entsprechen von Elementen zu defi- 
niren, kann, wie bisher ein Kegelschnitt, ein Dreieck oder 
Viereck als feste Hilfsfigur dienen. Es genügt auf einige 
solche Methoden hinzuweisen. 
Verbindet man einen Punkt Xi mit den Ecken eines 
Dreiecks und nimmt zu jedem Eckstrahl den symmetrischen 
in Bezug auf die Halbirungslinie des zugehörigen Dreiecks 
winkels, so schneiden sich diese drei Eckstrahlen wieder in 
einem Punkte ?/,• (§ 62,8). Die Dreiliniencoordinaten des einen 
Punktes sind die reciproken Werte von denen des andern. 
Man kann dann diese Punkte als einander eindeutig und ver 
tauschbar entsprechend in Bezug auf das Dreieck oder nach 
der Methode der redprolcen Coordinaten ansehen. (§330, 3.) 112 ) 
Die Zuordnung ist wiederum quadratisch, und zwar so, 
dafs einer Geraden UttiXi — 0 ein dem Dreieck umgeschrie 
bener Kegelschnitt H{ai : x t ) — 0 entspricht (§ 315) und um 
gekehrt. Damit erkennt man die Inversion als besonderen 
Fall dieses Entsprechens (§ 415, l). Speciell der unendlich 
fernen Geraden entspricht der umgeschriebene Kreis des Drei 
ecks (§ 315, 3), jedem Eckpunkt aber alle Punkte der Gegen 
seite. Die einzigen sich selbst entsprechenden Punkte sind 
die Centra der vier dem Dreieck eingeschriebenen Kreise (§ 70). 
Ebenso könnte man ein Entsprechen von Geraden nach 
reciproken Liniencoordinaten aufstellen.