758 XXI. Von den reciproken Verwandtschaften. 417. 
Endlich kann jedem Punkte eine Gerade zugeordnet werden, 
deren Liniencoordinaten die Reciproken der Punktcoordinaten 
sind. Geometrisch bedeutet dies nach § 64, l) das Entsprechen 
mischen einem Punkte und seiner Harmonicale in Bezug auf 
das FundamentaldreiecJc. Die unendlich ferne Gerade ist die 
Harmonicale des Schwerpunktes. Den Punkten einer geraden 
Reihe EaiXi — 0 entsprechen als Harmonicale die Tangenten 
eines dem Dreieck eingeschriebenen Kegelschnittes 27(a t -:£,■) = 0. 
Den Ecken des Dreiecks entsprechen alle durch sie gehenden 
Strahlen. 
B. l) Nach der Methode reciproker Coordinaten liegen ent 
sprechende Punkte entweder zugleich im Innern des Dreiecks, 
also auch des umgeschriebenen Kreises, oder beide aufserhalb 
des letzteren und in derselben Winkelfläche des Dreiecks, oder 
der eine in dem zwischen einer Dreiecksseite und dem um 
geschriebenen Kreise gelegenen Segment und der andere im Scheitel 
winkelraum der Gegenecke. Dem Centrum des umgeschriebenen 
Kreises entspricht der Höhenschnittpunkt etc. Je zwei einander 
entsprechende Punkte können als die Brennpunkte eines dem 
Dreieck eingeschriebenen Kegelschnittes angesehen werden. 
2) Einer beliebigen Geraden entspricht der Neunpunkte- 
Kegelschnitt derselben in Bezug auf das Viereck, welches die 
Punkte von den Coordinaten -f-1 | -f-1 j 1 bilden. (Vgl. § 373, 4.) 
3) Den Tangenten eines mit dem umgeschriebenen Kreise 
concentrischen Kreises entsprechen umgeschriebene, unter einander 
ähnliche Kegelschnitte; jenem Kreise selbst die Enveloppe dieser 
Kegelschnitte, eine Curve vierter Ordnung. 163 ) Man erörtere den 
Specialfall der gleichseitigen Hyperbeln. (Vgl. § 179, 3.) 
4) Die Harmonicalen der unendlich fernen Punkte umhüllen 
diejenige Ellipse, welche die Seiten des Dreiecks in ihren Mittel 
punkten berührt. 
417. Quadratische Verwandtschaft. Suchen wir ein Ent 
sprechen von Elementen unter Benutzung von vier festen 
Elementen zu vermitteln, so können wir diese durch die mit 
ihnen bestimmten linearen Kegelschnittsysteme ersetzt denken. 
Eine Zuordnung von Punkten, in welchen geraden Reihen 
wiederum Kegelschnitte entsprechen, gibt die Beziehung der 
in Bezug aut ein Kegelschnittbüschel doppelt conjugirten Pole 
(§§ 269, 334). Nach § 399 können wir dieselbe auch ganz 
allgemein als die Verwandtschaft der doppelt conjugirten Pole