Allgemeine quadratische Verwandtschaft. 
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in zwei Polarsystemen 164 ) definiren. Aber auch schon durch 
eine allgemeine Reciprocität wird eine quadratische Verwandt 
schaft der doppelt reciproken Elemente erzeugt (§ 398). Wir 
werden sofort erkennen, dafs die beiden Verwandtschaften 
unter derjenigen dritten als besondere Fälle enthalten sind, 
welche einem Punkte je eines Systems in zwei Reciprocitäten 
den in beiden reciproken Schnittpunkt ihrer reciproken Ge 
raden anordnet. Wir bezeichnen diese als die allgemeine quadra 
tische Verwandtschaft. 
Da zwischen reciproken Punkten einer Reciprocität eine 
bilineare Relation besteht, so können wir doppelt reciproke 
Punkte Xi und «/*• in zwei Reciprocitäten durch zwei Relationen 
X x y x -j- X 2 y 2 -j- X 3 y 3 = 0, X x y x X 2 y 2 X 3 y 3 — 0, 
in denen die X i} Xf lineare Formen der Xi bedeuten, ver 
bunden voraussetzen. Sollen Xi und y t - speciell in zwei Polar 
systemen doppelt conjugirte Pole sein, so bestehen ebenfalls 
diese Relationen mit der Besonderheit, dafs in jeder die Coefti- 
cienten von Xiy k und x k yi identisch werden* Sind endlich 
Xi, y L durch eine Reciprocität einander doppelt zugeordnet, so 
müssen die beiden Relationen identisch werden, sobald wir 
in der einen die Xi und die y-, vertauschen. 
Demnach besteht allgemein die quadratische Substitution 
2/i : 2h : V 3 = № X s ' - X 3 X/) : (X s X/-X&) : (X,X/-X 2 X/). 
Also entsprechen den Punktreihen in den Seiten des Coordi- 
natendreiecks y x = 0, y 2 = 0, y 3 = 0 die Kegelschnitte 
X x :X x ' = X 2 :X 2 '=X 3 :X 3 '. 
Diese gehen aber nach § 294 durch drei gemeinsame Punkte x i} 
für deren Coordinateli die beiden Definitionsgleichungen iden 
tisch werden. Demnach gehen alle Kegelschnitte, welche 
geraden Reihen entsprechen, durch diese drei Punkte x i} 
und jedem von diesen entsprechen umgekehrt alle Punkte y t 
der Geraden XXpyi = 0. Jedem andern Punkte y, entspricht 
also, da er als Schnittpunkt zweier Geraden angegeben werden 
kann, der vierte Schnittpunkt der jenen zugeordneten Kegel 
schnitte, einem Strahlbüschel ein Kegelschnittbüschel. Die