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XXI. Von den reciproken Verwandtschaften. 417. 
drei festen Punkte des Kegelschnittnetzes nennen wir die 
Hauptpunkte des Systems der x t . 
Umgekehrt gilt für die Bestimmung des einem Punkte x t 
entsprechenden Punktes y L das Analoge, vermittelt durch die 
selben, nur nach den x t geordneten, Relationen 2JYiX, =0, 
U Y'Xi = 0, in denen Y i} Y{ die y t linear enthalten. Den 
geraden Reihen Xi entsprechen die Kegelschnitte des Netzes 
Y l : Yf = Y 2 : Y 2 ' = Y 3 : Y 3 ' durch die drei Hauptpunkte des 
Systems der y ; . Den durch einen Hauptpunkt der x { gehen 
den Geraden entsprechen nun zerfallende Kegelschnitte, denen 
eine Verbindungslinie zweier Hauptpunkte der y t angehört. 
In den beiden Hauptdreiecken entsprechen einander daher eine 
Ecke des einen und eine Seite des -andern. Endlich gibt es noch 
vier sich selbst entsprechende Punkte in der Verwandtschaft, 
nämlich die Schnittpunkte der Polkegelschnitte EXiXi = 0, 
EXì'xì — 0 beider Reciprocitäten. 
Beschäftigen wir uns nur mit dem allgemeinen Fall, wo 
die Hauptdreiecke nicht degenerimi, so können wir auf eines 
derselben die Coordinateli beziehen. Sollen z. B. allen Ge 
raden Xi Kegelschnitte l x y 2 y z + l 2 y 3 y x + k z y x y 2 = 0 ent 
sprechen, so mufs es drei Constante k t geben, so dafs X{ —k-, X t 
wird; nur dann entsprechen den Fundamentalpunkten drei 
Gerade X,- — 0, welche das Hauptdreieck der Xi bilden. Nun 
werden die Substitutionen der einen Gruppe 
x i : x 2 : x ä — (K /.'3) X 2 X 3 : (/i 3 — k x ) X 3 X x : (k x —k 2 ) X x X 2 . 
Die allgemeine quadratische Verwandtschaft enthält die Col- 
Uneation*) als Specialfall. Die Grundgleichungen der letzteren 
drücken die CoordinatenVerhältnisse y x : y 3 \ y 2 : y 3 in Form 
von gleichbenannt gebrochenen Functionen der x,• aus. Man 
erhält dies, sobald man identisch X x = 0, N 2 '=0, X 2 — Xf 
setzt. Aut die allgemeine quadratische Verwandtschaft kommt 
man umgekehrt, wenn mau die Nenner der jenen Verhält 
nissen gleichwertigen Ausdrücke als ungleich voraussetzt 
*) Auch die Reciprocität ist in der allgemeinen Verwandtschaft 
mit enthalten, nämlich dann, wenn eine der definirenden Relationen 
identisch wird (X. = 0).