Der flotationskegel und die Brennpunkte seiner Schnitte. 779 
der Berührungspunkte durch D, d bezeichnet, so hat man 
zwischen den Tangentenlängen der Kugeln die Relationen 
PB=PF, Pd—PF', demnach für eine Ellipse PF-\-PF' —Pd, 
welche constante Länge mit der grofsen Axe MN der Schnitt- 
curve übereinstimmt. Für den hyperbolischen Schnitt befindet 
sich offenbar in jeder Kegelöffnung eine Berührungskugel auf 
derselben Seite der Ebene. Der Punkt B, in welchem die 
Geraden FF' und AP bei genügender Verlängerung sich 
schneiden, ist ein Punkt der Polare des Brennpunktes F, 
weil die Polare von B in Bezug auf den Kreis AFP zu 
gleich ihm in Bezug auf die Tangenten OA, OP harmonisch 
conjugirt ist. 
Per Ort der Scheitel edler geraden Kreiskegel, aus welchen 
eine gegebene Ellipse (Hyperbel, Parabel) geschnitten werden kann, 
ist eine Hyperbel (Ellipse, Parabel) in einer zur Schnittebene nor 
malen Ebene, welche die Prennpunkte der Ellipse (Hyperbel, 
Parabel) zu Scheiteln und ihre Scheitel zu Prennpunkten hat. 
Denn die Differenz von MO und NO ist constant als gleich 
MF' — NF'*) etc. 
B. l) Der Parameter der Schnittcurve ist constant, so lange 
ihre Ebene clen nämlichen Abstand von der Kegelspitze besitzt, 
*) Mit Hilfe dieses Princips können Eigenschaften der am Brenn 
punkte eines Kegelschnittes gespannten Winkel aus den Eigenschaften 
von Kugelkreisen abgeleitet werden. Z. B. man weifs, dafs für einen 
festen Punkt P in der Kugeloberfläche und einen beliebigen festen 
Kreis auf der Kugel die Relation tan ^ AP . tan \ BP — const. be 
steht, wenn A und B die Schnittpunkte dieses Kreises mit einem durch 
den Punkt P gehenden gröfsten Kreise der Kugel bezeichnen. 
Nehmen wir nun einen Kegel, dessen Basis der erstere Kreis und 
dessen Spitze das Centrum der Kugel ist, und denken ihn durch eine 
beliebige Ebene geschnitten, so erhalten wir den Satz: Wenn man 
durch einen Punkt p in der Ebene eines Kegelschnittes eine Gerade 
zieht, welche den letzteren in den Punkten a, b schneidet, so ist das 
Product der Tangenten von den Hälften der Winkel, welche ap, bp 
an der Spitze des Kegels spannen, constant. Da nun diese Eigenschaft 
für die Spitze jedes geraden Kegels gelten mufs, aus welchem der ge 
dachte Kegelschnitt geschnitten werden kann, und da sein Brennpunkt 
ein Punkt in dem Orte dieser Spitzen ist, so erhält man für den Brenn 
punkt die Relation tan |afp. tan \bfp = const. 173 ) (V gl. § 208, 7).