Der Satz von Brianchon und sein Gebrauch. 
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Der Beweis kann auch folgendermafsen (vgl. § 278,3) ge 
führt werden. Sind 
P X P 4 — V = 0, T 2 T 5 — P 2 3 = 0, T s T 6 — p 3 2 = o 
äquivalente Formen der Gleichung des Kegelschnittes S — 0, 
so stellen L i = L. 2 — L 3 drei Diagonalen dar, die sich in 
einem Punkte schneiden. Da aber keine Regel gegeben ist, 
nach der die durch die Gleichung L x = -{- L 2 dargestellte 
Diagonale des Vierseits T x P 4 T 2 T 6 bestimmt werden kann, 
so beweist dieser Schlufs nur dies, dafs die Verbindungs 
linien der Punkte 12 und 4 5, 2 3 und 5 6 sich entweder 
in der Verbindungsgeraden von 3 4 und 61 oder von 13 
und 4 6 begegnen. Wäre jedoch das letztere der Fall, so 
würden die Dreiecke 1, 2, 3 und 4, 5, 6 perspectivisch col- 
linear liegen (§ 64, 4), daher die Schnittpunkte von 1, 4; 2, 5; 
3, 6 in einer Geraden enthalten sein; wenn wir also fünf 
von diesen Tangenten bestimmen, so müfste die sechste durch 
einen festen Punkt gehen, statt einen Kegelschnitt zu um 
hüllen. Also ist nur die erste Folgerung zulässig. 
281. Der Satz von Brianchon bietet das Mittel, aus fünf 
gegebenen Tangenten eines Kegelschnittes alle Tangenten desselben zu 
construiren. Dabei sollen keine drei Tangenten durch einen Punkt 
gehen, da sonst die Curve in ein Punktepaar degenerirt (§ 250). 
Denn wenn wir auf einer von ihnen, etwa 1, einen 
Punkt P annehmen, so können wir die zweite Tangente 6 
des Kegelschnittes von P aus mit Hilfe dieses Satzes be 
stimmen: die Verbindungslinien der Punktepaare 12, 4 5; 
23, 56; 34, 61 schneiden sich in einem Punkte 0; nach 
der Voraussetzung sind die Geraden 12, 4 5 und 3 4, 61 
d. i. 34, P bekannt, somit auch ihr Schnittpunkt 0; zieht 
man daher die Gerade 0, 2 3, so schneidet dieselbe die Tan 
gente 5 in einem Punkte Q, welcher der Tangente 6 aus P 
ebenfalls angehört; PQ ist also diese Tangente 6. Man kann 
sagen: Die Tangente 6 ist die Basis eines veränderlichen Drei- 
seits, dessen Basisecken sich auf den festen Geraden 1 und 5 
bewegen, während sein Scheitel die Gerade 12, 4 5 beschreibt, 
und seine Seiten sich um die festen Punkte 2 3 und 3 4 drehen. 
Salmon-Fiedler, anal. Geom. d. Kegelschn. 5. Aufl. 29