455
Kegelschnitte durch zwei feste Punkte.
284. Wenn drei Kegelschnitte dieselben zivei Punkte gemein
haben, so gehen ihre drei Schnittsehnen, welche keinen dieser
Punkte enthalten, durch einen Punkt.
Ist S = 0 die Gleichung des einen Kegelschnittes, L = 0
die Gleichung der allen gemeinsamen Sehne, so sind die
Gleichungen der beiden andern Kegelschnitte von der Form
S LL t = 0, S -f- LL 2 = 0; die Gleichung ihrer Schnitt
sehnen ist daher L(L t — jL 2 ) = 0; die Gerade L i — L 2 — 0
geht aber durch den Punkt L i = 0, L 2 — 0. Daher gilt der
Satz aber für alle Kegelschnitte des durch die drei bestimmten
speciellen Netzes S -{- L (k i L i -j- k 2 L 2 ).
Der Satz dehnt auf diese Kegelschnitte den Satz über
die Radicalaxen von drei Kreisen aus (§ 121), da diese letzteren
die unendlich ferne Gerade ihrer Ebene zur gemeinschaft
lichen Sehne haben. Der Satz des § 279 erscheint als fernere
Erweiterung desselben: drei Kegelschnitte, welche mit einem
vierten Kegelschnitt in doppelter Berührung sind, besitzen
vier Radicalcentra, in deren jedem drei ihrer gemeinschaft
lichen Sehnen sich schneiden. An die Stelle des sie alle
doppelt berührenden Kegelschnittes treten im Falle der Kreise
die zwei Punkte, die ihnen allen gemein sind. Der obige
Satz kann wie in § 121 so ausgesprochen werden: Die Kegel
schnitte eines Büschels bestimmen mit einem festen, durch zwei
der Grundpunkte gehenden Kegelschnitte Schnittsehnen durch einen
festen Punkt.™) Man erkennt so, dafs zahlreiche frühere Sätze
specielle Formen allgemeinerer Sätze über Kegelschnitte durch
zwei feste Punkte sind.
B. Durch die
wenn A, B in einen
Voraussetzung, dafs einer der drei Kegel
schnitte in ein Linienpaar 0 A, 0 B de-
generirt, entsteht der Satz: Wenn man
durch zwei Schnittpunkte A, B von zwei
Kegelschnitten Gerade zieht, welche diese
in den ferneren Punktepaaren P, p bez.
Q, q schneiden, so schneiden sich die
Sehnen PQ, p q in der zweiten Schnitt
sehne CB der Kegelschnitte.
Der Satz gilt insbesondere noch,
Berührungspunkt der zwei Kegelschnitte
