468 XY. Projectivische Eigenschaften der Kegelschnitte. 289.
in constantem Verhältnis. Nimmt man L y = 0, L 2 — 0 als
beliebige Sehnen eines gegebenen Kreises S= 0, so kann
man hiernach einen Kegelschnitt als Ort erzeugen. Für den
Fall eines unendlich kleinen Kreises hat man speciell: Der
Ort eines Punktes, für welchen das Quadrat seiner Entfernung
von einem festen Punkt zu dem Product seiner Ahstände von
zwei festen Geraden in constantem Verhältnis steht, ist ein
Kegelschnitt.
Dasselbe gilt auch noch, wenn die festen Geraden zu
sammenfallen, also für die Gleichung S — kl? = 0: Die
Tangente aus einem Punkt eines Kegelschnittes an einen doppelt
berührenden Kreis steht zu seinem Abstand von der Berührungs
sehne in constantem Verhältnis. Endlich erkennen wir hierin
im obigen speciellen Fall die Fundamentaleigenschaft des
Brennpunktes und der Directrix (§ 197), so dafs wir den
Brennpunkt als einen unendlich kleinen Kreis ansehen müssen,
der den Kegelschnitt in zwei imaginären Punkten der Direc
trix berührt (§ 195).
Die Verallgemeinerungen für den Falls, dafs S = 0 einen
Kegelschnitt bedeutet, resultiren aus § 161.
Endlich können wir diese Interpretation auch auf die
Gleichungsformen des § 282 in Liniencoordinaten ausdehnen.
Bedenken wir, dafs eine lineare Function A von £ rj den mit
y (£ 2 -f- rf) multiplicirten Abstand des Punktes A = 0 von
der Geraden £ | rj bedeutet, so drückt A 3 A± — xA 1 A 2 = 0
den Satz aus: Das Product der Abstände einer Tangente des
Kegelschnittes von zivei Gegenecken eines Tangentenvierseits steht
zu dem Product seiner Abstände von den beiden andren Gegen
ecken in constantem Verhältnis u. s. w.
B. 1) Aus S — kL 2 = 0, S' - k'L 2 = 0 für S=0, S' = 0
als Kreise folgt k' S — kS' = 0, d. h. die Schnittpunkte solcher
Kegelschnitte liegen in einem Kreise, welcher von der Berührungs
sehne nicht abhängt und fest bleibt, so lange k : k' constant ist.
2) Wenn zwei Kegelschnitte einander doppelt berühren, so
steht für jeden Punkt des einen das Quadrat seines Abstandes
von der Berührungssehne beider in constantem Verhältnis zu
dem Reckteck der Segmente, welche der andere auf dieser Senk
rechten bestimmt.
