470 XV. Projectivische Eigenschaften der Kegelschnitte. 290.
Resultat der Substitution der Coordinaten einer Geraden in diese
proportional ist dem Quadrat der von ihr im Kreis bestimmten
Sehne und erhält dann entsprechend den Ergebnissen des Textes
die folgende Interpretation der Gleichung 2 — 12' für 2 — 0,
E' = 0 als Kreise: Die Enveloppe einer Geraden, in welcher
zwei gegebene Kreise Sehnen von constantem Verhältnis be
stimmen, ist ein Kegelschnitt, der die gemeinsamen Tangenten
beider Kreise berührt.
290. Doppelverhältnis von vier Elementen eines Kegel
schnittes. Bezeichnen, wie in § 66, s 1; s 2 , s 3 , s 4 die Abstände
eines Punktes P von den vier Seiten = 0, s 2 — 0, s 3 = 0,
s 4 = 0 eines Vierecks AGBD, so ist
s l -AC= PA • PC sin APC, s 2 -BC=PB-PC sin B PC, etc.
Bilden wir nach § 81 das Doppelverhältnis der vier von P
ausgehenden Strahlen, so ist
sin APG m sin APD s x s 3 AG AD
sin BPC ‘ sin BPD s 2 s 4 BG ' BD
Dasselbe ist von der Lage von P nicht abhängig, so lange
s 4 s 3 : s 2 s 4 = x einen constanten Wert behält. Daher gilt
nach der Interpretation des § 289 der Fundamentalsatz:
Bas Doppelverhältnis eines Strahlbiischels, dessen Strahlen
einen veränderlichen Punkt des Kegelschnittes mit vier festen
Punkten desselben in gegebener Beihenfolge verbinden, hat con
stanten Wert, und umgekehrt: Der Ort eines Punktes, dessen
Verbindungsgeraden mit vier festen Punkten in bestimmter Beihen-
folge ein Doppelverhältnis von constantem Wert ergeben, ist eine
durch dieselben gehende Curve zweiter Ordnung.
In der Bezeichnungsweise der §§ 80, 81 können wir die
Doppelverhältnisgleichheit schreiben
(P • AB CD) = x • (AB CD).
Der Klammeransdruck der rechten Seite ist aus den Seiten
längen des Vierecks AB CD ganz so gebildet, als ob die
selben in einer Geraden ein Doppelverhältnis bestimmten.
Der Factor ?c characterisirt einen bestimmten Kegelschnitt
des dem Viereck umgeschriebenen Büschels. Daher nennt
man die linke Seite das Doppelverhältnis von vier Punkten eines
Kegelschnittes und bezeichnet dasselbe etwa mit {ABCD}.
