Doppelverhältnis von vier Punkten und Tangenten. 471 
Es ist darunter also das Doppelverhältnis des die vier Punkte 
aus irgend einem fünften Punkte der Curve projicirenden 
Strahlbüschels zu verstehen. Der Kegelschnitt ist durch vier 
Punkte und den Wert ihres Doppelverhältnisses bestimmt. 
Betrachten wir ferner die Tangenten a, b, c, d, t in den 
Punkten A, B, C, D, P. Nennen wir die Schnittpunkte der 
vier ersten in der letzten A', B', C', D', die Abstände der 
Ecken ac, bc, ad, bd von t aber 6 t , 6 2 , cs 3 , <? 4 , so liefert 
die Trigonometrie 
sin ac = A'C'. sin at. sin bt, <? 2 sin bc — B'C'. sin bt. sin ct, 
etc. Das Doppelverhältnis der vier Schnittpunkte ist 
A’C AB' CjCg sin ac. sin ad 
B'C' ' B'D' cr 2 ff 4 sin bc ' siu bd 
Nun sagt ö l ö 3 = x0 2 6± nach § 289 aus, dafs t einen Kegel 
schnitt berührt. Also haben wir den dual entsprechenden 
Hauptsatz: 
Das Doppelverhältnis einer Punktreihe, deren Punkte in 
einer beweglichen Tangente des Kegelschnittes von vier festen 
Tangenten ausgeschnitten tverden, hat constanten Wert und um 
gekehrt. 
Schreiben wir wiederum in früherer Art 
(t. abcd) = x(abcd), 
indem wir das Sinusdoppelverhältnis der Winkel der vier 
Tangenten bilden, als ob sie durch einen gemeinsamen Scheitel 
gingen. Hiernach kann man wieder das Doppelverhältnis 
der von vier Tangenten in einer fünften ausgeschnittenen 
Punktreihe (t. abcd) als das Doppelverhältnis {abccl} der vier 
Tangenten des Kegelschnittes auffassen. 
291. Projectivische Erzeugung der Kegelschnitte. Die 
vorigen Fundamentalsätze stehen so recht im beherrschenden 
Mittelpunkt der Theorie der Kegelschnitte. Sie knüpfen 
unmittelbar an das an, was in § 83 von den projectivischen 
Strahlbüscheln und Punktreihen gesagt worden ist, und man 
tritt mit ihnen in den Zusammenhang der allgemeinen Ge 
dankenentwickelung des V. Kap. wieder ein. Denn sie lassen 
sich so aussprechen: