480 XV. Projectivische Eigenschaften der Kegelschnitte. 296. 
Doppelverhältnis sich auf ein einfaches Verhältnis reducirt. 
Aehnlich bei dem Doppelverhältnis von vier Tangenten. 
Wir zeigen zuerst die beiden Fundamentaleigenschaften 
als Eigenschaften von Sechsecken und Sechsseiten auf, welche 
von der Kegelschnittstheorie unabhängig sind. In den folgen 
den Beispielen über specielle Fälle sodann geben wir nur 
die Lage des Büschels oder der Reihe, die Transversale oder 
den Punkt, an welchen das Doppelverhältnis gemessen wird 
und den resultirenden Satz an, und überlassen die nähere 
Nachweisung seiner Beziehung zum allgemeinen Grundgesetz 
dem Leser zur Übung. 
B. l) Wenn von sechs Punkten A, B, C, B, E, F irgend 
vier C, B, E, F mit den beiden übrigen A, B Büschel von 
gleichem Doppelverhältnis bestimmen, so tun dies jede vier mit 
den übrigen zwei. 82 ) 
Wir beweisen zuerst, 
dafsaus der Voraussetzung 
(A.CBEF) = (B.CDEF) 
folgt 
g'hF' 
(C.ABEF)=(B.ABEF). 
Nennen wir die Schnittpunkte der den Gruppen CBEF, AB FF 
gemeinsamen Seite FF mit den Gegenseitenpaaren des Vierecks 
AB CB, nämlich BC, AB-, CA, BB-, AB, CB bez. G, G'\ H, H'-, 
K, K', so folgt aus der Voraussetzung die Relation 
(EG'EF) = (GH'FF) oder (HGEF) = (G'H'EF) (§95) 
und daher (C . ABEF) = (B . ABEF). In derselben Art er 
gibt sich der Beweis für die übrigen fünf Fälle, in welchen 
beiden Gruppen zwei Punkte gemeinsam angehören. Für die 
acht Fälle, in welchen dieselben drei gemeinsame Punkte ent 
halten, folgt aber der Satz hieraus ohne weiteren Beweis. 
2) Wenn von sechs Geraden irgend vier mit den beiden 
übrigen Punktreihen von gleichem Doppelverhältnis bestimmen, 
so tun es jede vier mit den übrigen zwei. 
Der Beweis entspricht dem Vorigen genau nach dem Princip 
der Dualität. 
3) 
(A . ACBB) = (B . ACBB). 
Da wir unter AA, BB die Tangenten in A, B verstehen 
müssen, so geben diese Doppelverhältnisse, durch die Segmente 
der Linie CB gemessen, (TCKB) = (KCT'B). Wenn also