Formen der Doppelverhältnisgleichheit. 481 
eine Sehne CD zwei Tangenten in T, T' und ihre Berührungssehne 
AB in K schneidet, so ist immer 
KD . TK. CT' — CK. KT' . TD. 
Natürlich ist bei Aufstellung der Dop 
pelverhältnisse sorgfältig darauf zu 
achten, dafs die entsprechenden Strahlen 
und die zugehörigen Punkte der Reihen 
in gleicher Ordnung folgen. 
4) Wenn T und T' zusammen 
fallen, so wird KT. CT— — CK.TD\ 
d. h. jede durch den Schnittpunkt 
von zwei Tangenten gehende Sehne 
wird von der Berührungssehne harmo 
nisch geteilt (§ 159). 
5) Ist T' unendlich entfernt oder CD parallel PT', so er 
hält man TK 2 = TC . TD (§ 159). 
6) Ist einer von den vier Punkten des Kegelschnittes un 
endlich entfernt, so ist {0 .ABC oo) constant. Mifst man dann 
dieses Doppelverhältnis auf der Geraden C oo, und schneiden 
OA, OB dieselbe in A', B\ so reducirt sich das Doppelverhältnis 
auf A'C-.B'C. Wenn also zwei feste Punkte A, B einer Hyperbel 
(Parabel) mit einem veränderlichen Punkt 0 derselben Curve 
verbunden werden, und die Verbindungslinien eine feste die Curve 
in C schneidende Parallele zu einer Asymptote (einem Durch 
messer) in Punkten Ä ; B' schneiden, so ist das Verhältnis 
A'C : B'C der von diesen bis zur Curve gemessenen Abschnitte 
constant. 
7) Wenn man dasselbe Doppelverhältnis auf einer andern 
Parallelen mifst, so erfährt man, dafs die Verbindungsgeraden 
von drei festen Punkten einer Hyperbel oder Parabel mit einem 
veränderlichen Punkt derselben von einer festen Parallelen zu 
einer Asymptote oder einem Durchmesser in Punkten A, _B, C 
so geschnitten werden, dafs AB : AC constant ist. 
8) Setzen wir in 6) voraus, dafs die Geraden, welche A, B 
mit einem vierten Punkt 0' verbinden, den Strahl Coo in A", B" 
schneiden, so ist A'B' : A"B" — ÄC : A"C; lassen wir nun auch 
noch den Punkt C so in unendliche Entfernung rücken, dafs die 
Gerade Coo eine Asymptote wird, so wird das Verhältnis 
A B : A"B" der Einheit gleich, und wir erhalten den Satz § 188, 2. 
9) (A . ABCoo) — (B . ABCoo). 
Werden diese Doppelverhältnisse auf der Geraden C oo gemessen, 
und schneidet diese in a, h die Tangenten zu A und B, in K 
Salmon-Fiedler, anal. Geom. d. Kegelsehn. 5. Aufl. 31