482 XV. Projectivische Eigenschaften der Kegelschnitte. 297. 
aber die Berührungssehne A B, so ist aC: KC — KC: bC. Wenn 
also eine Parallele zu einer Asymptote einer Hyperbel oder zum 
Durchmesser einer Parabel zwei Tangenten und ihre Berührungs 
sehne schneidet, so ist der Abschnitt zwischen Curve und Be 
rührungssehne das geometrische 
Mittel zwischen den Abschnitten 
von der Curve zu den Tangenten. 
Oder umgekehrt: Wenn eine Ge 
rade ab von fester Richtung die 
Seiten eines Dreiecks in Punkten 
abK schneidet, und ein Punkt C 
in ihr so bestimmt wird, dafs 
CK 2 = Ca . Cb ist, so ist der 
Ort von C eine Parabel, wenn ab der Halbirungslinie der 
Dreiecksbasis AB parallel ist (§ 220); sonst immer eine Hyperbel, 
deren eine Asymptote zu ab parallel ist. 
10) Sind von den festen Punkten zwei unendlich entfernt, 
so bat man z. B. (oo . ABoo oo') = (oo' . ABoo oo') und die 
Geraden oo oo, oo' oo' sind die beiden 
Asymptoten, oo oo' aber ist die un 
endlich ferne Gerade selbst. Mifst 
man diese Doppelverhältnisse auf dem 
Durchmesser OH, und wird dieser 
von den Parallelen zu den Asymptoten 
B oo, B oo' in a, a geschnitten, so ist 
AO : aO = a 0 : HO, d. h. Parallelen 
zu den Asymptoten, die durch einen 
beliebigen Punkt einer Hyperbel gezogen werden, bestimmen in einem 
Halbmesser vom Centrum aus gemessene Segmente, die diesen selbst 
zur mittleren geometrischen Proportionale haben. 
Wenn daher umgekehrt durch einen festen Punkt 0 eine 
Gerade gezogen wird, die zwei festen vom Punkt B ausgehenden 
Strahlen in den Punkten a, a begegnet, so ist der Ort eines 
Punktes H auf ihr, dessen Abstand von 0 das geometrische 
Mittel zwischen Oa, Oa ist, eine Hyperbel, die 0 zum Centrum 
und ihre Asymptoten parallel den festen Strahlen J5a, Bai hat. 
11) (oo . AB oo oo') = (oo'. AB oo oo'). 
Werden die Segmente in den Asymptoten gemessen, so er 
hält man aO :bO — b' 0: a' 0, oder: das Rechteck der Asymptoten 
parallelen eines Curvenpunktes ist constant. (§ 188,1.) 
297. Zu den Beispielen des vorigen §, die sich auf das 
Doppelverhältnis von vier Punkten beziehen, fügen wir spe-