484 XV. Projectivisclie Eigenschaften der Kegelschnitte. 298. 
4) Wenn wir zwei von den vier festen Tangenten einer 
Ellipse oder Hyperbel parallel annehmen, und die veränderliche 
Tangente nach einander mit beiden zusammenfallen lassen, so 
wird im ersten Fall das Doppelver 
hältnis = Ab : Ac und im zweiten 
= De': Db'", daher ist das Rechteck 
Ab . Db' constant. 
Aus dem Gesetz vom Doppelver 
hältnisse von vier Punkten leitet man 
ab, dafs die Geraden, welche die 
Punkte A, D mit einem beliebigen Punkt 0 der Curve ver 
binden, die parallelen Tangenten in Punkten b, b' schneiden, für 
welche das Rechteck Ab . Db' gleichfalls constant ist. 
5) Wenn man die Asymptoten einer Hyperbel mit zwei 
beliebigen Tangenten derselben in a, a und b, b' schneidet, so 
folgt aus den von ihnen auf den Asymptoten selbst bestimmten 
Doppelverhältnissen für 0 als das Centrum die Relation Oa . Oa 
— Ob . Ob'i d. h. das Rechteck der Tangentenabschnitte auf den 
Asymptoten ist constant. (§ 188.) 
298. Wir geben ferner eine Reihe von Problemen, die 
mit Hilfe der Eigenschaften der projectivischen Büschel und 
Reihen am Kegelschnitt gelöst werden. 
B. l) Beweis für Mac Laurin’s Erzeugungsmethode: Ein 
Kegelschnitt wird als der Ort der freien Ecke V eines Dreiecks ge 
funden, dessen Seiten sich um die 
festen Punkte yl, B, C drehen, 
während zwei seiner Ecken sich 
in den festen Geraden Oa, Ob 
bewegen (vgl. § 46, 2). 
Wenn vier solche Dreiecke 
ab 7, a'b'V', a"b"V", a'"b"' V'" 
verzeichnet sind, so ergibt sich 
aus der Identität der Büschel 
(C . aoi a" a") und (C . b b'b"b"') 
die Relation (aa'a" a'") — (bb'b"b'"), daher auch 
(A. VV' V" V'") = (B . 77' V" V'"). 
Also liegen die Punkte H, R, 7, 7', 7", V"' in demselben 
Kegelschnitt, oder der Ort von V'" ist stets der durch die 
Punkte A, R, 7, 7' V" gehende Kegelschnitt. In Worten: Die 
Strahlenbüschel aus A und B sind projectivisch mit einander, 
weil sie beide mit dem Strahlenbüschel aus C perspectivisch sind; 
daher ist der Ort der Schnittpunkte entsprechender Strahlen ein 
durch A und B gehender Kegelschnitt (vgl. § 46, 3). 
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