486 XV. Projectivische Eigenschaften der Kegelschnitte. 298. 
er den Punkt A anstatt in einer Geraden in einem durch die 
Punkte P und Q gehenden Kegelschnitt bewegt denkt; denn auch 
dann ist immer (P. A A' A" A'") — (Q . A A'A" A'"). 
7) Der Beweis bleibt auch noch derselbe, wenn anstatt der 
Unveränderlichkeit der Winkel APV, AQV festgesetzt wäre, 
dafs dieselben in festen Geraden constante Abschnitte bestimmen; 
denn auch dann gälte die Gleichheit der Doppelverhältnisse 
(P . A A' A" Ä") — (P . VV' V" V'"), weil beide Büschel in einer 
festen Geraden Abschnitte von derselben Länge bestimmen. Wenn 
also die Basis eines Dreiecks und der von den Seiten desselben 
in irgend einer festen Geraden bestimmte Abschnitt gegeben 
sind, so ist der Ort der Spitze ein Kegelschnitt. 
8) Die Ecken von zwei demselben Kegelschnitt umgeschriebenen 
Dreiecken ABC, DEF sind sechs Punkte eines Kegelschnittes. 
Denn die Geraden AP, AC, DE, 
DF bestimmen in den beiden andern 
BC und PP Punktreiben von gleichem 
Doppelverhältnis 
(.BCKL) = (GHEF); 
also (P . BCEF) — (A . BCEF), 
was den Satz beweist. 
Ebenso beweist man den Satz: Die Seiten von zwei demselben 
Kegelschnitt eingeschriebenen Dreiecken sind sechs Tangenten eines 
Kegelschnittes. 
Die Aufsuchung und den Beweis anderer den vorher ent 
wickelten Eigenschaften nach dem Princip der Dualität ent 
sprechender Sätze überlassen wir dem Leser. 
9) Das Doppelverhältnis von vier Durchmessern eines Kegel 
schnittes ist dem der bez. conjugirten Durchmesser gleich. 
Die conjugirten Durchmesser bilden zwei projectivische Büschel 
aus dem Centrum als dem gemeinsamen Scheitel, oder die Rich 
tungen der Paare conjugirter Durchmesser bilden zwei projectivische 
Reihen in der unendlich fernen Geraden. Denn das Doppelver 
hältnis von vier aus einem Punkt der Curve gezogenen Sehnen 
ist dem Doppelverhältnis ihrer Supplementarsehnen gleich (§ 186). 
10) Mittelpunktsort des einem gegebenen Viereck um ge 
schriebenen Kegelschnittes. (Vgl. § 272, 1.) 
Denkt man Durchmesser des Kegelschnittes nach den Mittel 
punkten der Seiten des Vierecks gezogen, so ist ihr Doppel 
verhältnis dem ihrer bez. conjugirten gleich und daher constant, 
weil diese den zugehörigen Seiten des Vierecks parallel sind. 
Der fragliche Ort ist daher ein durch die Mittelpunkte der ge