496 XY. Projectivische Eigenschaften cler Kegelschnitte. 301. 
13) Alle die Kegelschnitte, welche durch vier feste Punkte 
gehen, haben ein reelles oder imaginäres Paar von parallelen 
conjugirten Durchmessern. 
Denn man denke die Transversale des Satzes der vorigen 
Aufgabe unendlich entfernt, etc. 
14) Man bestimme unter den durch vier feste Punkte gehen 
den Kegelschnitten denjenigen, der eine gegebene Strecke FF har 
monisch teilt, insbesondere den von gegebenen Axenrichtungen. 
15) Der Ort des Pols einer Geraden in Bezug auf die durch 
vier Punkte gehenden Kegelschnitte ist ein Kegelschnitt, der 
durch die Schnittpunkte der Diagonalen und der Gegenseiten 
paare des Vierecks geht. (§ 272, 1.) 
Denn wenn man in Bezug auf zwei Punkte P und Q die 
Polarenbüschel bildet, so entsprechen die Strahlen derselben einer 
einem, d. h. projectivisch; also ist der Ort der Schnittpunkte 
ihrer entsprechenden Strahlen ein Kegelschnitt. Diese Schnitt 
punkte sind aber die Pole der Geraden PQ in Bezug auf die 
Kegelschnitte des Systems oder die Scheitel der Polarenbüschel 
für den in der Geraden PQ fortbewegten Pol. (Vgl. 12.) 
16) Das Büschel der Polaren des Punktes P in Bezug auf 
vier demselben Viereck umgeschriebene Kegelschnitte hat ein von 
der Lage von P unabhängiges Doppel Verhältnis (§ 269). Die 
Reihen der Berührungspunkte, welche in den gemeinsamen Tan 
genten von vier demselben Vierseit eingeschriebenen Kegelschnitten 
durch diese gebildet werden, haben dasselbe Doppelverhältnis. 
Man kann in Folge dieser Eigenschaften von dem Doppel 
verhältnis von vier Kegelschnitten eines Büschels oder einer Schaar 
sprechen. 
17) Der Satz § 284 spricht aus, dafs die Kegelschnitte 
eines Büschels von einem Kegelschnitt K durch zwei ihrer ge 
meinsamen Punkte A, B in einer Involution geschnitten werden, 
für welche die Verbindungslinien ihrer Paare (§ 299, 2) durch 
einen Punkt P der Sehne CD gehen, welche die beiden andern 
gemeinsamen Punkte des Büschels verbindet. (Vgl. § 284, B.) 
Die von diesem Punkte P an den Kegelschnitt gehenden Tan 
genten liefern durch ihre Berührungspunkte die Doppelpunkte 
der Involution und damit die zwei Kegelschnitte des Büschels, 
tvclche den Kegelschnitt K berühren. 8f> ) 
Wenn einer der Doppelpunkte mit A oder B zusammen 
fällt, so findet zwischen dem zugehörigen Kegelschnitt des Büschels 
und K in diesem Punkte Osculation statt, und man erhält die 
Construction des Problems, durch zwei gegebene Punkte (7, D einen 
Kegelschnitt zu legen, welcher den gegebenen Kegelschnitt K in dem 
Punkte B osculirt.