3 liegen in dieser 
Folge und außer- 
;ive, sondern eine 
noch. Denn dann 
M ■*»,••• gegen 
Bemerkung ergibt 
- \z\ • z n , ..oder 
•en — | z | • g, d. h. 
. und behaupten, 
nzwert £ 2 ist. Da 
Intervall, das sie 
, unserer Betrach- 
Nullpunkt liegt, 
;ervall durch Ver- 
iktes so weit ver- 
kt spiegelbildlich 
lchen Intervalles 
ler Abstand jedes 
ls d, und deshalb 
Ipunkt höchstens 
/■eiten Abschnitts, 
b £. Dann liegen 
l ihr nur endlich 
lieh vielen inner- 
ld diese Abstände 
- | £ + Zn= 2 d. 
• s. Das bedeutet: 
am £ 2 als Mittel 
vielen z\. Außer 
liegen, nämlich 
db der ursprüng- 
ein konnte, kann 
könnte man hier 
Konvergenz der 
Produkt von Folgen 
29 
11. Sind schließlich x x , x 2 , . . ., x n , . . . und y x , y 2 , . . y n , • • • zwei be 
schränkte konvergente Folgen mit den beziehentlichen Grenzwerten | 
und rj, so ist auch die Folge x 1 -y 1 , x 2 -y 2 , ..., x n -y n , ... beschränkt, und 
sie konvergiert gegen £ • rj. Zum Beweise bilden wir 
(x n + y n f = xl, -f- 2 • x n • y n + y\, 
also x n -y n = | • [(x n + y n ) 2 — x\ — yl]. 
Da nun lim (x n + y n ) = | + rj (nach Nummer 7), 
n — oo 
lim (cc n + y n ) 2 = (I + *?) 2 j 
lim# 2 
n 
U — oo 
lim y 2 n 
U = oo 
— rj* 
> (nach Nummer 10) 
ist, so ergibt sich unter Anwendung der Ergebnisse aus den Nummern 8 
und 9: 
lim x n -y n = !•[(§ + rj) 2 — | 2 — rj 2 ] 
U = oo 
womit der Beweis erbracht ist. 
Wir haben also den Satz: Wenn man aus zwei beschränkten konver 
genten Folgen mit den Grenzwerten | und rj dadurch eine neue Folge 
bildet, daß man entsprechende Glieder der gegebenen Folgen multipliziert, 
so ist auch die neue Folge beschränkt und konvergent, und zwar mit dem 
Grenzwert | • rj. Dafür pflegt man häufig wesentlich kürzer, aber auch 
wesentlich weniger streng zu sagen: Per Grenzwert des Produkts (von 
zwei Folgen) ist (vorhanden und) gleich dem Produkt der Grenzwerte 
(der einzelnen Folgen), oder in Form einer in Zeichen geschriebenen 
Gleichung: 
1 im x n -y n = lim x n • limy n . 
Auch von diesem Satz, der übrigens die Aussagen der Nummer 9 als 
Sonderfälle enthält, haben wir im ersten und vierten Abschnitt schon mehr 
fach Gebrauch gemacht. So schlossen wir z. B. heim Grenzübergang in For 
mel (1), S. 2, daß aus lim — — 0 auch lim--- =0 folgt, und ferner, 
daß 
aus lim fl —) = 1 
und lim | 
•n = 00 
= 1 sich die Beziehung 
,. c • a 3 
lim —r— • 
f 1 — ' 
(l — 1 ) 
c • a 3 
«=00 3 
\ nj 
\ 2 n) 
~ 3 
ergibt. Entsprechende Anwendungen des nun strenge begründeten Satzes 
fanden heim Grenzühergang in Formel (2), S. 4, und hei den Grenzüber 
gängen des vierten Abschnitts statt.