7. Zahlenmengen 
Fälle eintreten: Entweder es kommt jede Zahl nur endlich oft vor (Fall I, 
S. 10); dann müssen unendlich viele verschiedene Punkte vorhanden sein, 
und es gibt, falls die Zahlenmenge beschränkt ist, mindestens einen Häu 
fungspunkt im Sinne der Nummer 5. Oder es kommt eine Zahl unendlich 
oft vor (Fall II, S. 10); der zugehörige Punkt ist dann wieder als Häufungs 
punkt in erweitertem Sinne anzusprechen. Im ganzen gilt jedenfalls der 
Satz, daß jede beschränkte Menge von unendlich vielen Zahlen mindestens 
einen Häufungspunkt besitzt. 
8. Es sei eine Zahlenmenge M nach rechts beschränkt, d. h. es möge 
keine beliebig weit rechts auf der Zahlengeraden g liegenden Punkte von 
M geben. Dann existiert sicher ein Punkt 6 auf g, so daß rechts von 6 
keine Punkte von M mehr liegen. Ein solcher Punkt 6 heißt eine rechte 
Schranke von M, oder auch eine obere Schranke von M, da die Größe der 
Zahlen auf g nach rechts hin wächst. Natürlich braucht 6 weder selbst ein 
Punkt von M zu sein, noch brauchen in einem gewissen Stück auf g links 
von 6 solche Punkte zu liegen. So ist z. B. 6 = 10 eine obere Schranke 
aller negativen ganzen Zahlen — 1, — 2, — 3, ..., — n, ..., oder auch eine 
l 2 n 1 
obere Schranke der Zahlenfolge 0, —, —-—, . . .; <7 = 20 könnte 
genau so gut als obere Schranke in beiden Fällen genommen werden, 
ebenso 6 — 5. Wenn man eine möglichst genaue obere Schranke von M 
haben will, wird man 6 so weit wie möglich nach links rücken. Das Best 
mögliche bei der Menge der negativen ganzen Zahlen wird erreicht, wenn 
1 zusammenfällt; bei der Menge 0, *, ~ 7 . . ., - ■■ 1 , 
6 mit 
tritt es 
dann ein, wenn 6 auf -f- 1 zu liegen kommt. Die bestmögliche obere 
Schranke einer nach rechts beschränkten Menge nennt man ihre obere 
Grenze. 
Rechts von der oberen Grenze y einer solchen Menge M liegen also 
keine Punkte von M mehr (Eigenschaft (a)). 
y kann nun entweder ein Punkt von M selbst sein (Eigenschaft (&)), 
wie im ersten Beispiel. 
Es braucht dies aber nicht der Fall zu sein, wie das zweite Beispiel 
lehrt; dann aber müssen sich die Punkte von M beliebig nahe von links 
her an y herandrängen, d. h. y muß Häufungspunkt von M 7 aber nur von 
links her, sein (Eigenschaft (c)). 
Natürlich können auch beide Fälle vereint Vorkommen: es ist y Häu- 
schärferen Begründung zu bedürfen scheint, wollen wir auch hier die Be- 
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