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Hyperbel 53 
Gleichzeitige Multiplikation mit n n • (n — l) n liefert 
(n — 1) • n 2n ~ 1 
n 2n — n 2n ~ 1 (n 2 — l) n . 
Entwickeln wir jetzt (n 2 — l) w (für n ^ 2) nach der binomischen Formel, 
so lauten die beiden ersten Glieder n 2n “ (^) * n 2n ~ 2 = n 2n — n 2n ~ x \ sie 
stimmen demnach mit dem in (19) links stehenden Ausdruck überein. 
Wenn wir also nachweisen können, daß die restlichen Glieder der Ent 
wicklung von (n 2 — 1)” in die Binomialreihe zusammengenommen positiv 
sind, ist der rechte Ausdruck in (19) größer als der linke, und da die 
Rechnung auch rückwärts durchgeführt werden kann, gilt dasselbe für die 
Ausdrücke (18). 
Nun nehmen die Beträge der einzelnen Glieder der Binomialreihe von 
links nach rechts monoton ah. Denn jedes folgende entsteht — abgesehen 
vom Vorzeichen — aus dem vorhergehenden durch Division mit n 2 und 
— von den Binomialkoeffizienten herrührend — durch Multiplikation mit 
einem Ausdruck von der Form 
l + [( v = °, 1 > 2 > •••> (» — !))• 
Denn die auftretenden Binomialkoeffizienten sind ja der Reihe nach 
1 fn \ n ( n \ n • {n — 1) (n \ n • (n — 1) • (n — 2) 
Ml/ T> \T/ — U2 ’ VT/ “ 1-2.3 J • • • 
Nun ist aber n —, \ • \ stets kleiner als 1. Also nehmen die Beträge der 
Glieder tatsächlich von links nach rechts monoton ab. Da das dritte Glied 
positiv, das folgende negativ, das nachfolgende wieder positiv usw. mit ab 
wechselndem Vorzeichen ist, und hei der Summenbildung mithin jedesmal 
weniger abgezogen, als gerade vorher zugefügt wird, haben die restlichen 
Glieder — d. h. vom dritten an — zusammen wirklich einen positiven Wert. 
3. Wir behaupten nun, daß die Folge ^1 + * j nach rechts beschränkt 
ist. Wäre das nämlich nicht der Fall, so müßte sie nach Nummer 10 des 
vorangehenden Abschnitts, S. 48, mit wachsendem n über alle Grenzen 
wachsen. Dann würde das gleiche auch für log ^1 + — ^ gelten, da log x 
mit über alle Grenzen wachsendem x selbst über alle Grenzen wächst. 
Dann müßte aber offenbar 
log a 
lim 
log ( 1 + v)“ +log ( 1+ v) 
= 0 
sein, d. h. unsere Fläche hätte einen verschwindenden Flächeninhalt, was 
sinnlos ist. Die Folge ^1 + ist demnach nach rechts beschränkt.