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M. M. EISENSTEIN ET HESSE. 
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soit a une quantité constante quelconque et soient A et B deux autres constantes 
déterminés: Mr. Hesse à démontré l’équation remarquable 
V(U+aV U) = AU+BVU; 
mais sans donner la forme des coefficients A et B, ce qui parait être très difficile 
à effectuer. En considérant le cas d’une fonction homogène de deux variables seule 
ment, mais d’ailleurs d’un ordre quelconque, on parvient à un théorème analogue qui 
m’a paru intéressant. 
“ Soit U une fonction homogène et de l’ordre v des deux variables x, y, et VU 
la déterminante • y,—» — ( , l’on a 
ax- dy 2 \dxdyj 
{y — 2) (y — 3) 3 . V ( U 4- aV U) = {— v (y — 1 ) (y — 3) 2 Ja + v (y — 1) (2v — 5) 2 la 2 ) U 
+ {(v — 2) (y — 3) 3 + (v — 2) (v — 3) (2v — 5) Ja 2 } V U. 
En représentant par i, j, k, l, m, les coefficients différentiels du quatrième ordre 
de U, on a 
I = ikm — il 2 ~ jm 2 — k 3 + 2 jkl, 
J = 4jl — 3 k 2 — mi, 
de manière que I, J sont des fonctions de x, y des ordres 3 (y — 4) et 2 {v — 4) 
respectivement.” 
Ce qu’il y a de remarquable, c’est la forme de ces deux quantités I, J. On voit 
d’abord que la fonction I est la déterminante formée avec les termes 
i, j, k 
j, k, l 
k, l, m. 
Mais de plus les deux fonctions I, J ont la propriété suivante. Si l’on imagine une 
fonction du quatrième ordre 
lj:i + 4>jlpr} + 6k£-r) 2 + +mrj 4 , 
transformée en 
l'Ç 4 + 4/fV + 6&TV 2 + U'Ç'v'z + mV 4 , 
au moyen de 
£ = \ % + fi y', 
y = Vf' + y!y, 
en représentant par T, J', les mêmes fonctions de %, /, k', l', m', on a 
J' — (\y! — Vya) 6 .J, T = (A./// — A/p.) 4 .1. 
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