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25.
MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES.
[From the Journal des Mathématiques (Liouville), tom. x. (1845), pp. 385—420.]
Un des plus beaux résultats des recherches de l’illustre Abel, dans la théorie des
fonctions elliptiques, consiste dans les expressions qu’il obtint pour les fonctions inverses
фа, fa, Fa (équivalentes à-peu-près à sin ama, cos ama, Даша) en forme de fractions
avec un dénominateur commun : ce dénominateur et les trois numérateurs étant chacun
le produit d’une suite infinie double de facteurs. On ne sait pas à quel point
Abel avait poussé l’investigation des propriétés de ces nouvelles fonctions ; on trouve
seulement, dans une Lettre à Legendre, imprimée parmi ses Œuvres [t. II. p. 259,
Ed. 2, p. 274], qu’il s’en était occupé. Depuis, les fonctions H, ®, qui sont essen
tiellement les mêmes que ces fonctions d’Abel, ont été l’objet des savantes recherches
de M. Jacobi, à qui l’on doit, en particulier, la belle formule
log © (a) - log © (0) = ( 1 - ^ - к' 2 1 da J da sin 2 ama,
qui est vraiment fondamentale, et sur laquelle on peut dire que sa théorie est basée.
Mais les expressions qu’obtient M. Jacobi pour les fonctions H, ©, sont sous la forme
d’un produit d’une suite infinie simple de facteurs, ce qui ne met pas à beaucoup
près si bien en évidence la vraie nature de ces fonctions que les expressions d’Abel ;
celles-ci sont, en outre, si analogues aux formules en produits infinis des fonctions
circulaires, que l’on est seulement étonné que personne ne se soit avisé jusqu’ici de
les poser, à priori, comme les définitions les plus simples des fonctions doublement
périodiques, pour en déduire la théorie de ces fonctions. C’est de cette manière que
je me propose de traiter ici la question. Je prends pour définitions les formules
d’Abel, en supposant, pour plus de généralité, que les fonctions complètes П, T (Ah K'
de M. Jacobi) sont chacune de la forme A+Bj — 1 (ce qui donne lieu à quelques
intégrations assez délicates). Et de ces seules équations, sans me servir en rien de la
