+ x , en excluant seulement la combinaison (m =0, n — 0). Pour qu’une telle expression 
soit finie, il faut que pour chaque combinaison de valeurs de m, n, il y en ait une 
autre des mêmes valeurs avec les signes contraires. Cependant, comme on l’a déjà 
expliqué, cela ne suffit pas pour rendre déterminée la valeur de u. Soit <£ une 
fonction de m, n qui ne change pas en changeant à la fois les signes de ces deux 
quantités ; et imaginons que l’équation 
représente une courbe fermée, dont tous les points s’éloignent, au cas limite de 
T = x, d’une distance infinie de l’origine. Cela posé, en donnant h m, n des valeurs 
entières qui satisfassent à cette condition <£ < T, et puis faisant T = x, on obtient 
pour u une valeur parfaitement déterminée, qui dépend de la forme de la fonction <£. 
Soit u' ce que devient la fonction u en changeant seulement lequation aux limites dans 
l’équation analogue 
4>' = T; 
on peut, pour simplifier, supposer que la courbe représentée par cette équation soit 
située entièrement en dehors de celle que représente l’équation 
cf> = T, 
mais cela n’est pas essentiel. Il est facile de trouver une relation très-simple qui 
existe entre ces deux expressions u' et u. En effet, 
u : u — Il -11 + 
(m, ri) ] ’ 
en donnant à m, n des valeurs qui satisfassent à la fois aux deux conditions > T, 
fi < T. Donc, en considérant toujours ces valeurs, 
log u! - log n = log ü jl + —^1 = S log jl + ~ 
ri) 
= æ 
(w, ri) 
~ 
(m, ri) 2 
+ ... 
Dans cette expression, les termes qui contiennent les puissances impaires x s’évanouissent, 
à cause des valeurs égales positives et négatives. Mais puisque, à la limite, m, n ne 
reçoivent que des valeurs infinies, on peut négliger les termes multipliés par æ 4 , &c. 
Donc