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25] MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. 
Il est facile de voir que l’on peut changer la sommation en intégration double, et écrire 
dm dn 
(m, n)' 
entre les mêmes limites qu’auparavant, c’est-à-dire que m, n doivent satisfaire aux 
deux conditions <£ > T, <// < T. 
Prenons par exemple, pour limite supérieure, 
(m 2 = m 2 , n 2 = n 2 ), 
et pour limite inférieure, 
(m 2 + n 2 = T 2 ) ; 
m, n sont censés contenir T comme facteur, de manière qu’ils deviennent infinis avec 
cette quantité ; on suppose aussi m > T, n > T, mais cela est seulement pour la clarté. 
Il devient nécessaire à ce point de définir de plus près les valeurs de il, T ; nous 
écrirons 
il = cy 4- (ài, T = v + vi 
où ; û), w', v, v sont des quantités réelles, telles que wv — a>'v ne s’évanouit 
pas ; c’est la condition pour que il : T contienne une partie imaginaire. 
Avec les coordonnées polaires 
1 _ rr drdd =[ d& (l°g r — l°g T) 
JJ r (il cos 6 + T sin ô) 2 J (il cos 0 + T sin 6) 2 ' ’ 
en représentant par r ce que devient r à la limite supérieure; l’intégrale doit être 
prise depuis 6 = 0 jusqu a 6 = 2ir. On voit tout de suite que la partie qui contient 
log T s’évanouit; donc 
log r dô 
o (il cos 6 + T sin 6) 2 
Soit a un angle positif plus petit que |7r, tel que tana = — , on a évidemment 
+ m 
cos 6 ’ 
depuis ^ = —a jusqu a # = + a, ou depuis 6 = ir — a. jusqu’à 6 = tt + <x, et 
± n 
cos 6 
depuis 6 = a jusqu’à 6=7r — a, ou depuis ô = Tr + a jusqu’à 6 = 2tt — a (le signe ambigu, 
de manière que r soit toujours positif). En réunissant les parties opposées de l’intégrale, 
on obtient 
° (log m — log cos 6) dd | 0 [ n ~ a (log n — log sin 6) dd 
75 ; «S 5 75\7T "T'"/ /A /1.00 _• /Tvoi 
“(log 
(il cos 6 + T sin 6) 2 
f n ~ a (log n — log sin 6) dd 
J a (il cos $ + T sin 6) 2 ’ 
•a