160 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. 
ou, en mettant dans la seconde intégrale bir — et = a', et ¿7r — d an lieu de 6, 
, f a (log m - log cos d) dd f a (log n — log cos d) dd 
J _ a (il cos 6 + T sin d) 2 * J _ a ' (T cos 6 + Ù sin d) 2 
La première intégrale se réduit à 
[25 
— 2 (log m — log cos 6) 
T ( il + T tan 6) 
(entre les limites) 
2 
+ — 
a iaxiddd 
7T J - a (il + T tan 6) 
_ 4 (log m — log cos a) tan a 
il 2 — T 2 tan 2 a 
_ 4 (log m — log cos a) tan a 
O 2 — T 2 tan 2 a 
- 4 
+ 
tan 2 6dô 
il 2 — T 2 tan 2 6 
il 2 + T 2 J 0 
dd 
1 
il 2 (1 + tan 2 d) 
Ü 2 — T 2 tan 2 d 
L’intégrale, dans cette formule 
( L + tan 2 0) dd _ f tan 1 
o il 2 — T 2 tan 2 d 
dx 
il 2 - T 2 x 2 ’ 
s’exprime tout de suite par les logarithmes, mais il faut apporter une attention 
particulière à la manière de déterminer quelle valeur doit être attribuée à ce logarithme, 
dans le cas où la partie réelle en est négative. Je renvoie cette discussion à une 
Note. Yoici le résultat auquel j’arrive. 
En représentant par Lu la valeur principale du logarithme de u, quand il y a 
une valeur principale (c’est-à-dire quand la partie réelle de u est positive), et 
écrivant 
L± 7r iU = Lu, ou L (— u) + 7ri, 
selon qu’il y a une valeur principale de log u, ou de log ( — u), on a 
rtan e 
J o 
dx 
il 2 - TV 2I1T 
y ±n{ 
il + T tan d 
il — T tan et 
(8), 
en prenant le signe supérieur pour œv' — co'v positif, et le signe inférieur pour coi/ — co'u 
négatif. 
La première partie de A se réduit donc à 
4 (log m — log cos a) tan a 
il 2 — T 2 tan 2 a 
ou, en rétablissant la valeur de a, à 
+ 
il 2 + T 
l fì . il + T tan a\ 
* T L±ni il - T tan a ’ 
4mn log Jm 2 + n 2 4 ( n + n T\ 
mttP-rfT- + QÏTr* ( arC tan S - * T £ *"^ÎWr) •