164 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. [25 
On a donc, en ajoutant les deux parties qui composent l’intégrale, 
A = + — i ^ l7r ( 14^ 
+ Î1T iî + TiT (œv' - œ'v) V 
Il est facile de voir, en écrivant 
, _ _ 27n il TrT-ii 
A = + Î1T iï + Ti 1 T (Tilj - Tjft) ’ 
que cette expression ne change pas de valeur en mettant il lf T 1} il, T au lieu de 
il, T, Hj, T 1; pourvu qu’on change aussi le signe de i ; cela doit évidemment être ainsi 
et peut servir de vérification. 
Soit, pour un moment, u x ce que devient u en prenant pour limite l’équation 
■ni 2 + n 2 = T 2 , 
et supposons que dans la fonction u on ait pour limite l’équation 
mod (ni, n) = T. 
En retenant la valeur de A, qui vient d’être trouvée, 
u = e~i Axî tq ; 
mais aussi 
, Iti « / , Tri tri il \ „ 
U = e Ti OY^w_e= 6 \ T *QY aratri)* u u 
à cause de l’équation, conséquence facile des résultats précédents, 
ni n 
U-g = sirVt iq. 
En éliminant u lf on obtient, entre u, U, une équation de la forme 
U = u (15), 
dans laquelle 
ou enfin 
7ri - 27Tl t m t T,7T 
1 iîf + il + T i ==± WŸ ± T (œv' - co'v) 
± TT 
Î1T (œv' — co'v) 
[2 (œv — œ'v) + (œ + œ'i) (v — vi)], 
± 7r (œv 4- œ'v') 
HT (œv' — œ'v) 
7r (œv' + œ'v') 
ilT mod (œv' — œ'v) 
(16).