25] MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. 
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En rassemblant tous ces résultats, on a le système de formules 
U = e -iB X t u = g—jgæ 2 u _ g = ei§X 2 
U = e I («-«) * 2 M _g = e* < B+§ > * 2 îig, 
o _ 7Tî (ù)v' — 0)'u) 
ÎÎT mod (<01/ — o/u) ’ 
„ _ 7T (wu + tù'v) 
mod (eoi/ — o/v) ’ 
u, u e , n_g des fonctions de la forme 
x 
(A) 
xYl 11 + 
(m, n)J 
mais avec des limites différentes, savoir : 
mod (m, n) = T, T = oo , pour la fonction u ; 
m- = m-, n 2 = n , m = x , n = x , — = x , pour Up ; 
n 
m 2 = m 2 , n 2 = n 2 , m = x , n=x, ^=x , pour îî_§. 
A présent, il importe de remarquer que la fonction îî § est périodique à l’égard 
de il, de la manière d’un sinus ou d’un cosinus, mais ne l’est pas à l’égard de T ; 
de même est périodique à l’égard de T, mais non à l’égard de O. Quant à U, u, 
elles ne sont simplement périodiques ni à l’égard de il, ni à l’égard de T. Pour 
démontrer cela, considérons, par exemple, l’équation 
iig = x II ( 1 + 
(m, n) 
(17) 
[m depuis — m jusqu’à m, n depuis — n jusqu’à n, m=x, n = x, — = x, le système 
(wi = 0, 71 = 0) toujours exclu] ; en représentant par u'g ce que devient Ug quand on 
écrit x + il au lieu de x, on a évidemment 
M'« = (*+Û)n 1 + 
= — x II ( 1 + 
x + il 
(m, n) 
1 \ . n (m + 1, n) 
(ni, n) ’ 
(m +1, n), 
en admettant dans le premier produit la combinaison (m = 0, n = 0), mais excluant 
(m +1 = 0, n = 0), et excluant l’une et l’autre du second produit. Cette équation est 
de la forme 
u'g = A'xn ( 1 + X 
(m + 1, n)j ’ 
avec les mêmes limites que dans u; donc 
u'g : Ug = A 'U fl + 
(m + 1, n) 
: n 1 + 
(-m, n)J ’