168 MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. [25 
Il est clair qu’en changeant entre elles les quantités 12, T (quantités que nous 
désignerons comme les fonctions complétés), on ne change pas les fonctions yx, Zx, 
tandis que gx se change en Gx, et Gx en gx. On change de cette manière £ en — § 
et B en — B (par exemple, y g x se change en y-gx, &c.). Cette considération fait voir 
que toute propriété des fonctions J est double, et donne le moyen le plus facile pour 
passer d’une propriété quelconque à la propriété correspondante. 
On tire immédiatement des définitions mêmes les équations 
[ y ( — x) = — yx, g ( — x) = gx, G ( — x) = Gx, Z ( — x) = Zx ; 
(C) ! yO = 0, g0=l, CrO—1, Z0 = 1; 
[ </'0 = 1. 
Il est facile de démontrer, de la même manière dont nous avons prouvé la périodicité 
de JgX à l’égard de 12, que ces fonctions se changent l’une en l’autre, à un facteur 
constant près, en changeant x en # + ^12. Faisant donc attention à l’équation qui lie 
ensemble Jx et J g x, on obtient le système de formules 
y (x + 2 H) = e^ nx Agx, ) 
g (x + ^ 12) = e^ ax Byx, | 
G (x + £ 12) = e^ nx CZx, j 
Z (x + ^ il) = e^ nx DZx. j 
Pour déterminer A, B, G, D, posons 
x — 0 ou x = — ^ 12. 
En écrivant, pour abréger, 
. irCli 
(D) t eiî2 = e y = q~ l t 
on trouve 
¿=y(m 
B = -qr i : y(£H), 
C = G$n)=qr* : Z (ii2), j 
D=Z{\ü) = q-* : G (i il) ; J 
d’où l’on déduit cette équation de condition, 
G a il) Z a 12) = qr* 
On a de même le système 
y(# + iT ) = €-*“* A'Gx,] 
g (x + ^T) = e-^ Yx B' Zx, j 
G{x+%T) = e-W x C' yx, [' 
Z(x + $ T)=e-i gYx D'Gx, ) 
(23) 
(24). 
(25).