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25] MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. 
petite, en demeurant finie, que dans le voisinage de certaines valeurs particulières de p, 
on aura 
pourvu qu’on réduise le résidu intégral à sa valeur principale.” 
On se rappelle que cela veut dire qu’en supposant ces conditions satisfaites, la 
fonction fx peut s exprimer de la maniéré ordinaire comme la somme d’une suite de 
fractions simples, mais qu’il faut étendre d’abord la sommation aux racines de l’équation 
dont les modules sont inférieurs à une certaine limite qu’on fait alors infinie. 
Soit, par exemple, 
(33), 
où Tx, TyX ne contiennent que des facteurs qui sont des puissances entières des 
fonctions yx, gx, Gx, Zx. En supposant que r n’est d’aucune des formes 
mod (m, n), mod (m, n), mod (m, n), mod (m, n), 
mais, d’ailleurs, une quantité infinie quelconque, on peut toujours écrire 
z = r (cos p + i sin p) = (m, n) + 6 
où 6 est une quantité finie telle qu’aucune des fonctions y0, g0, G0, Z0 ne s’évanouit, 
m, n sont des entiers dont l’un au moins est infini, mais qui varient depuis — x 
jusqu’à x, avec l’angle p. Soit H le degré de Tx, celui de T x x à l’égard de yx, 
&c. ; soit aussi A. = — 8 ; on a, en général, une équation de cette forme, 
Cg _ çla [m, n) 2 q^krn 2 qhkn 2 fc Im+Jn p 1 
(35), 
où F est fini. En supposant donc que la partie réelle de 
a (m, n) 2 — \ëH 2 m 2 + A.é’T 2 n 2 
est négative quelles que soient les valeurs de m, n, on a 
fz = 0, 
(36) 
et de même 
fz +./*( z) = 0 fz-f(-z) = 0 
2 ’ 2z 
Si, au contraire, cette partie réelle est positive, ces trois fonctions sont toujours infinies. 
Il y a cependant un cas particulier à considérer, savoir, celui où cette partie réelle 
se réduit à Pm 2 ou Qn 2 , P, Q étant des quantités positives. Il faut ici que le