176 
MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. 
[25 
coefficient de n ou de m dans la partie réelle de Im + Jn s’évanouisse. Enfin, si les 
parties réelles s’évanouissent entièrement, ce qui ne peut arriver que pour 
a = 0, 6 = 0, X = 0, 
fx est fini. On a donc pour fx fonction impaire, 
fz+f(-z) = fz-f(-z) = Q 
2 ’ 2z 
(la seconde équation à cause du dénominateur infini z). Il est cependant certain que, 
dans plusieurs cas pour lesquels fx est fonction paire, on peut réduire fx en une suite 
de fractions simples : par exemple, yx : gx est une fonction impaire que l’on peut, par 
ce qui précède, développer en suite de fractions simples ; en écrivant x + au lieu 
de x, on déduit un pareil développement pour Gx : Zx qui est fonction paire. 
Remarquons que quand la partie réelle de 
a (m, nf — Xé’fPra 2 + XéT-n" 
est négative pour toute valeur de m ou n, la suite pour fx est toujours convergente. 
En effet, les numérateurs des fractions simples contiennent ce facteur de fz, 
e ia (m, n) 2 qh^n 2 , 
qui s’évanouit pour les valeurs infiniment grandes de m, n. Dans le cas où la partie 
réelle est positive, le développement ne peut jamais être vrai ; je crois qu’en général 
il est vrai, dans les cas limites, quand la suite que l’on obtient est convergente. Il 
y a des exceptions cependant ; on en verra une en développant tyx. 
Avant de passer aux exemples, développons la condition pour que la partie réelle 
en question soit toujours négative. 
En supposant 
a = h + ki, 
on obtient pour cette quantité l’expression 
+ 
+ 2mn {h (wv — wv) — k (œv' + co'v)}, 
) 
qui doit toujours rester négative. Cela donne, après quelques réductions, la condition 
2X7T ( ü)V + (û'v) 
[(am — a>V) h + (coi/ + (o'v) &] 
[ ... (38). 
;