25] MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. 
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Les valeurs h = 0, k — 0 
satisfont a cette condition, laquelle du reste (en considérant h, k comme les coordonnées 
d un point) est satisfaite pour tout point situé en dedans d’un certain cercle qui inclut 
l’origine, et dont on aurait l’équation en remplaçant le signe < par le signe = dans 
la formule (38). 
On obtient de cette façon une grande variété de formules particulières. Par 
exemple celles-ci : 
£*JU4t/ TWU • yx = 2 e? a < m ’ w > 2 +& (m. ») q^™ 2 q№ il)}“ 1 ], 
(U) 
é ç\ax-+bx . _ 
J <Àa&+bx . g X _ _ ¡j-i c -i ^ [(-)-nwi-m-Jn e ict |i, w) 2 +6 (m, n) (m+è> 2 ^Jn 2 ^ ^ il)}“ 1 ], 
e èaz2+to . Gx=l&“* c -è ^ (m, ïï) 2 +6 (m, ») (n+J) 2 ^ n)}“ 1 ], 
e J«a:2 + te . %x = î(T* e~* S [(-)“ (m+ *> (n+ i> e* a «> 2 + 6 <**• ») çp < m +i) 2 gi («+ï) 2 j# _ n)}“ 1 ], 
dans lesquelles, pour trouver les limites de a, il faut faire \ = 1 dans la formule (38). 
On a ensuite ce système de formules sans exponentielles, 
gæ : yx = ü [(-)’ 1 [x - {m, n)}“ 1 ], 
Gx : yx = S [(-) m [x - (m, n)}“ 1 ], 
Zx : yx = S [(-) w+w {x - (m, n)} -1 ] ; 
y# : gx = - b- 1 c“ 1 S [(-) n {a; - (m, n)}“ 1 ], 
Gx : gx = — c -1 ^ [(—) m+n {x — (m, n)} -1 ], 
Zx : gx — — b~ x S [(—) m {a? - (rn, n)} -1 ] ; 
yx : Gx = - 6“ 1 e~ x s [(-) w {x - (m, n)}“ 1 ], 
gx : Gx= ie~ x S [(—) m+n [x — (m, n)}“ 1 ], 
Zx : Gx = ¿Z»“ 1 S [(—) n (x — (m, iî)}“ 1 ] ; 
yx : Zx = ic~ l e~ x S [(—) m+n [x — (in, n)} -1 ], 
gx : Zx = e -1 S[(-) m {x —(in, n)}“ 1 ], 
Gx : Zx = ic~ x S [(—) n (x - (m, n)}“ 1 ], 
dont quelques-unes ont été données par Abel. Il faut remarquer que celles de ces 
équations où la fonction est impaire sont justifiées par le théorème de M. Cauchy, et 
que les autres se déduisent de celles-ci. On peut trouver de même le développement 
des fonctions 
1 Gx yx gx 
yx gx ’ " ’ yx gx ’ ’ ’ ‘ ’ Zx Gx 
c. 23 
(V)