MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. 
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(celles-ci, qui sont toutes impaires, ont été déjà considérées ; nous venons de faire voir 
que le développement est admissible) ; 
1 Zx 1 
yx gx Gx ’ ‘ " ’ y x gxGx’ ’ yx gx Zx ’ " ’ ’ 
chacune, excepté celles de la suite » multipliée par un facteur exponentiel e iax2+bx . 
Par exemple, 
ÿïgsWxu2[ ei “"'” , ' + ‘ (ro '” l 2™ !< u )*-(*». «)}-■] 
_ ^ [ 6 ia (m. n) 2 +6 (m. n) g 2 (m+J) 2 ÿm* j# _ ^ w)} -1 ] 
(W) 
+ S [e ia (m ’ ” )2+6 (m ’ g) qj 2 ™ 2 ç 2 (n+ i )2 {« - (m, n)} -1 ] 
_ ^ (m, n)*+b (m. n) g 2 (m+I) 2 ^2 (n+J) 2 | Æ . _ ü)} -1 ]- 
Mais on est conduit à un résultat beaucoup plus important en considérant, par 
exemple, le développement de cf> 2 x. Cette fonction contient non-seulement une suite 
de fractions simples, mais aussi un terme constant ; nous écrirons 
fêx — J + S [X {x — (w, n)} -2 4- M [x — (m, n)} -1 ] (39). 
Pour déterminer L, M de la manière la plus simple, changeons æ en ¡c + |iî + £T. En 
faisant attention à la valeur de <f)X = yx : Zx, on obtient 
- e~ 2 c~ 2 (4>x)~ 2 = J + S [L [x — (m, w)) -2 + M {x — (m, n)} -1 ] ; 
de là 
ou enfin 
L = - e~ 2 
M=- e~ 2 
L = -e~ 2 
M = — e 2 c 2 
c~ 2 [x — (m, n)} 2 (<fix) 2 , 
c -2 ^ [{as - (m, n)} 2 (<f>x)- 2 ], 
c~ 2 x 2 (<px)~ 2 , pour X — 0, 
x = (w, n), 
ce qui donne 
L = — e 2 c 2 , M = 0, ^ 
cf)*x = J- e~ 2 c~ 2 S 1® — (m, n)}~ 2 . J 
En intégrant deux fois 
(40). 
clx 
cf) 2 x dx = \ Jx 2 + e^c 2 S log [as - (m, n)} 
(41),