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MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS DOUBLEMENT PERIODIQUES.
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Quoiqu elle ne soit pas liee très-étroitement avec la théorie actuelle, on peut
ajouter ici cette autre formule de M. Jacobi, qu’il obtient en intégrant par rapport à x,
au lieu de a,
au moyen de laquelle il déduit des formules pour l’addition des arguments ou des
paramètres des fonctions de la troisième espèce. On trouve aussi, dans les Fund. Nova,
Z (x — a) Z {y — a) Z (x + y + a)
Z (x + a) Z (y + a) Z {x + y — a)
quelques formules déduites de l’équation (49) pour exprimer
au moyen de la fonction <f> ; il serait facile de déduire des équations semblables pour
les autres fonctions y, g, G.
Note sur une intégrale définie.
Soient Àà, k des quantités réelles dont la première est la plus grande ; 12 = <a + a>'i,
T = v + vi des quantités quelconques, telles que w>v — oo'v ne s’évanouisse pas, et écrivons
(55).
L’intégrale u a toujours une valeur finie et déterminée, puisque le dénominateur ne
devient jamais zéro. On a évidemment
iX
(56),
et l’intégrale indéfinie est
(57);
il faut passer de là à l’intégrale définie, entre les limites 0, oo. Soit
12 + T (x + k) A iB
12 + T(# + & 1 ) * *
(58).
Il est facile de voir qu’en faisant abstraction d’un dénominateur toujours positif, A x
est une fonction du second degré en x, et B x se réduit à la quantité constante
(<wv — œ'v)(k 1 —k). Le signe de B x est donc toujours le même que celui de cov' — co'v;
quant à celui de A X) puisque évidemment A x =l, il est clair que si A 0 est positif,
A x reste toujours positif, ou change deux fois de signe quand x passe de 0 à oc. Si,
au contraire, A 0 est négatif, A x est négatif depuis x — 0 jusqu’à une certaine valeur
positive de x, x=ct, et positif depuis x=ct jusqu’à x= oo. Considérons d’abord ce dernier
cas. En représentant par Lx la valeur principale de log x (cela suppose que la partie
réelle de x est positive), on obtient cette valeur de u,
_1 T 12+T^l 1 T 12 + T (a + — e)] 1 [12+T (a +^ + e)'
U T L ß + T^L 12 4- T (a + Æ — e)J T [_12 + T (a + k + e)
