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MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. [25 
où 6 est supposé une quantité infiniment petite positive. La somme des derniers termes 
se réduit à 
(59), 
où, comme à l’ordinaire, arc tan x doit être situé entre les limites + ^7r. 
Dans cette formule, M a _ e est une quantité infiniment petite et négative; M a+e est 
une quantité infiniment petite et positive ; donc, quand B a est négatif, les arcs se 
réduisent à ^7r, — ^-7r, et si B a est positif, à — \tr , r. On a donc 
(60), 
où il faut se servir du signe supérieur ou inférieur selon que wv — œ'v est positif ou 
négatif. Dans le cas où A 0 est positif, si A x reste toujours positif, on obtient tout de 
suite 
(61). 
Si A x change deux fois de signe, par exemple pour x = a et x = £, il faut introduire 
les corrections 
Bg \ 
Ag+J 
i 
T 
qui se détruisent l’une l’autre, en sorte que l’on a le même résultat que si A x était 
toujours positif. En se servant de la notation employée dans le Mémoire, on a dans 
tous les cas 
(62), 
où le signe se détermine d’après celui de wv — cù'v. 
En particulier, 
(63). 
0T\ 
Je ne sais pas si l’on a cherché avant moi la valeur exacte de cette intégrale définie, 
qui est cependant la plus simple qu’on puisse imaginer, et qui devrait, je crois, trouver 
place dans les livres élémentaires. 
Nota. Une partie de ces recherches a été déjà imprimée dans le Cambridge 
Mathematical Journal [24] ; je me suis borné au cas où íí, T sont de la forme w, vi, ce 
qui simplifie beaucoup la détermination des intégrales définies doubles; mais la forme 
générale des résultats en est très-peu affectée.