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26.
MÉMOIRE SUR LES COURBES DU TROISIÈME ORDRE.
[Frorn the Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (Liouville), tome ix. (1844),
pp. 285—293.]
Considérons d’abord la surface du troisième ordre qui passe par les six arêtes d’un
tétraèdre quelconque. Cette surface sera touchée selon chaque arête par un seul plan ;
je dis que: “les plans tangents selon les arêtes opposées se rencontrent en trois droites
qui sont dans le même plan, et chacune de ces droites est située entièrement sur la
surface.”
En effet, si nous représentons par P — 0, Q = 0, R = 0, S = 0, les équations des quatre
plans du tétraèdre, et par a, ë, y, 8 des constantes arbitraires, lequation de la surface
ne peut avoir que la forme
aQRS + ëPRS + yPQS + 8PQR = 0.
Soient H, & ce que deviennent les quantités P, Q, R, S, quand on change les
coordonnées x, y, z en de nouvelles variables £, 77, l’équation du plan tangent se réduit
facilement à la forme
(f - P) (ëRS + yQS + 8QR) + (<& - Q) (<xRS + y PS + 8PR)
+ (m- R) (aQS + ëPS 4 8PQ) + (£,-£) + €PR + yPQ) = 0.
Soient P = 0, Q = 0 ; cette équation devient
Sf + ol(& = 0 ;
et de même, si R = 0, S = 0, l’équation devient
8Wi + = 0.
De ces équations on déduit les deux suivantes :
**№& + +7$'= 0,
!p+],(&+i3a+!& = o.
a. ^ b y o
