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MÉMOIRE SUR LES COURBES DU TROISIEME ORDRE. 
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On conclut de la première, que la droite d’intersection des deux plans tangents est située 
sur la surface ; et de la seconde, que cette droite est dans un même plan, quelles que 
soient les deux arêtes opposées par lesquelles on a mené les deux plans tangents. Ainsi 
le théorème est démontré. 
En considérant une section quelconque de cette surface, ou même en supposant que 
P, Q, R, S ne contiennent que deux variables x, y, nous avons ce théorème : 
“ Etant donnée une courbe du troisième ordre qui passe par les six points d’inter 
section de quatre droites, les tangentes à la courbe en ces six points se rencontrent deux 
à deux en trois points qui sont les points d’intersection de la courbe par une droite. 
Les tangentes qui doivent être prises ensemble sont les tangentes en deux points A, 
A', tels que A est l’intersection de deux des quatre lignes données, et A' l’intersection 
des deux autres lignes, points que l’on peut nommer opposés. 
“De même, si une courbe du troisième ordre passe par cinq de ces points, de 
telle manière que l’intersection des tangentes à la courbe en deux points opposés soit 
située sur la courbe, la courbe passe par le sixième point, et par les points d’inter 
section des tangentes menées par les deux autres paires de points opposés.” 
A présent, posons une courbe quelconque du troisième ordre et deux points A, A' 
sur la courbe, tels que les tangentes en ces deux points se rencontrent sur la courbe 
(cela suppose que la courbe est de la sixième ou quatrième classe, et non pas de la 
troisième). Un autre point B sur la courbe étant pris à volonté, les droites AB, A'B 
rencontrent la courbe en H et h ; et les droites Ah, A'H se rencontrent en un point 
B' situé sur la courbe. Les tangentes en B, B', et de même les tangentes en H, h, 
se rencontrent sur la courbe en deux points qui sont en ligne droite avec le point 
d’intersection des tangentes en A et A'. 
On peut dire que les deux points B, B', ou les deux points H, h, sont une paire 
de points correspondante à la paire A, A'. Les deux paires B, B' et H, h sont évidem 
ment correspondantes l’une à l’autre, et, de plus, A, A' correspond à ces deux paires, 
de la même manière que H, h correspond à A, A', et B, B'; de sorte que l’on peut 
dire que les trois paires A, A'; B, B'-, H, h sont supplémentaires l’une aux deux autres. 
Soit C, C' une autre paire de points correspondante à A, A'; je dis que B, B' et 
G, G' sont des paires correspondantes l’une à l’autre ; et, de plus, si d’un point P quel 
conque de la courbe, l’on mène des lignes aux points A, A', B, B', C, C', ces lignes forment 
un faisceau en involution. 
En effet, considérons six points quelconques A, A', B, B', G, C' dans le même plan, 
et représentons par f g, h les points d’intersection de BC' et B'C, CA' et C'A, AB' et 
A'B, et par F, G, H les points d’intersection de CB et C'B', GA et C'A', AB et A'B'. 
Nous allons faire voir que le lieu d’un point P qui se meut de telle manière que les 
lignes menées aux points A, B, C, A', B', C' forment toujours un faisceau en involution, 
est une courbe du troisième ordre qui passe par ces six points, et aussi par les points 
f g, h, F, G, H.