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MÉMOIRE SUR LES COURBES DU TROISIEME ORDRE. 
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Soient a, a, ë, €, y, ÿ les tangentes trigonométriques des inclinaisons des lignes 
PA, PA, 1 B, PB, PG, PG, sur une ligne fixe quelconque que l’on peut prendre pour 
1 axe des x. Pour que ces lignes forment un faisceau en involution, nous devrions avoir 
la relation 
aa' (£ + §' — y — y') + §§' {y + y' — a. — a!) + yy (a + a' — §—§') = 0, 
ou, ce qui revient à la même chose, l’une quelconque des quatre équations 
(a -?)(€- y') (y - a’) + (a' - g ) (§' - y) (y' - a ) = 0, 
{a! -£')(£- 7') (y - a ) + (a - £ ) (€' - 7) (7 - a') = 0, 
(« -^)(é >, -7 , )(Y-« / ) + ( a , -O(É-7)(y-«) = 0, 
(«'-*) (6' - 7) (7 -«) + («- (ë - 7) (7' - ci) = 0. 
Soient x P , y p , x A , y A , etc., les coordonnées de P, A, etc. 
x p Va 
a - €' = y p ~ y*- y p S. V* = _ J: (P AB'), 
Xp — X A Xp — Xp’ [Xp — X A ) (Xp — Xp’) 
en représentant par {PAB'), etc., les quantités telles que 
æ p {y a ~ V b 1 ) +■ y p ( x a ~ x é) + x A y* ~ x B'yA- 
L’équation de la courbe peut donc se mettre sous l’une quelconque des quatre formes 
P AB' . PBC' . PC A’ + PA'B . PB'G . PC’A = 0, 
PA'B'. PBC’ . PC A + P AB . PB'C . PC'A' = 0, 
P AB . PB’C’. PC A’ + PA'B'. PBC . PC'A = 0, 
. PA'B . PB'C'. PC A + P AB' . PBC . PC'A' = 0, 
<pii sont du troisième ordre. La première fait voir que la courbe cherchée passe par les 
neuf points A, B, C, A', B', C', f g, h. La troisième ou la quatrième fait voir quelle 
passe de plus par le point F-, la quatrième ou la seconde, quelle passe par le point G; 
la seconde ou la troisième, quelle passe par le point H. Ainsi la courbe passe par les 
douze points A, B, C, A', B', C', f, g, h, F, G, H. 
On peut remarquer qu’une courbe du troisième ordre qui passe par dix quelconques 
de ces points, ou même par neuf quelconques, pourvu que nous exceptions les combinai 
sons de A, B, C, A', B', C', avec f, g, h, ou f, G, H, ou F, g, H, ou F, G, h, ne peut 
être que la courbe que nous venons de trouver. On peut aussi remarquer en passant 
que si A, A', B, B', C, C' sont les points d’intersection de quatre droites, l’équation ci- 
devant trouvée est satisfaite identiquement, de sorte que la position du point P est 
absolument arbitraire. Cela étant connu, je ne m’arrête pas pour le démontrer. 
Revenons au cas d’une courbe donnée, avec trois paires de points A, A', B, B, C, C, 
comme auparavant, tels que B, B' et C, C' sont des paires correspondantes à A, A'. Les 
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