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MÉMOIRE SUR LES COURBES DU TROISIEME ORDRE. 
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points A, B, G, A', B', G', G, g, H, h sont situés sur la courbe ; ainsi F, f sont aussi 
sur la courbe (c’est-à-dire que B, B' et G, G' sont des paires correspondantes), et les 
lignes menées par un point P quelconque de la courbe et les points A, B, G, A', B', G' 
forment un faisceau en involution : théorème ci-devant énoncé. 
Considérons une courbe du troisième ordre, de la quatrième classe (c’est-à-dire, telle 
que d’un point quelconque on ne peut lui mener que quatre tangentes). D’un point sur 
la courbe, indépendamment de la tangente en ce point, on ne peut mener que deux 
tangentes. Prenons les deux points K, L sur la courbe, et menons les tangentes KA, 
K A', LB, LB' touchant la courbe en A, A', B, B'. Il est clair qu’en ce cas A, A' et 
B, B' sont des paires correspondantes de points. Mais le cas général où la courbe est 
de la sixième classe est moins simple. Considérons, en effet, pour une telle courbe, les 
huit points A u A 2 , A 3 , A 4 et B x , B 2 , B 3 , B 4 de contact des tangentes menées par les 
deux points K et L. En choisissant A, A' et B de quelque manière que ce soit, parmi 
les points A 1} A. 2 , A 3 , A 4 et B ly B. 2) B 3 , B 4 respectivement, le point B', qui doit entrer 
dans cette dernière série, ne peut pas être choisi à volonté, mais est parfaitement déter 
miné. En désignant convenablement les points B, on peut toujours supposer que les 
paires correspondantes soient A X A 2 ou A 3 A 4 avec B 2 B. 2 ou B 3 B 4 ; A X A 3 ou A 2 A 4 avec 
B X B 3 ou B. 2 B 4 ; A X A 4 ou A 2 A 3 avec B X B 4 ou B 2 B 3 . Cela suppose que 
A X B X , A 2 B 2 , A 3 B 3 , A 4 B 4 ; A 2 B 2 , A 2 B 1} A 3 B 4 , A 4 B 3 ; 
A X B 3 , A 3 B 1} A 2 B 4 , a 4 b 2 - A x B 4 , A 4 B x , A. 2 B 3 , a 3 b 2 , 
se rencontrent, chaque système, dans le même point. Il faut expliquer avec plus d’evi- 
dence la corrélation de ces huit points. 
Imaginons les six points A, A'; B, B' ; G, G', tels que AA', B B', CG' se rencontrent 
dans le même point. Formons, comme auparavant, le système de points f, g, h, F, G, H. 
Les propriétés de ce système de douze points sont très-nombreuses. Non-seulement 
F, G, H ; F, g, h] f, G, h ; f, g, H sont en ligne droite ; mais, en outre, les trois droites 
de chacun des onze systèmes que voici se rencontrent dans le même point : 
Af > 
Bg , 
Gh ; 
*f> 
B'g, 
C'h ; 
AA', 
Gg , 
Hh ; 
BB', 
H h , 
Bf ; 
CC', 
Bf, 
Gg ; 
¿'f, 
BG, 
CH ; 
B'g, 
CH, 
AF ; 
C'h, 
AF, 
BG ; 
Af > 
B'G, 
C'H- 
Bg, 
C'H, 
A'F] 
Ch, 
A'F, 
B'G. 
(Cela est connu, je crois ; au reste, pour le démontrer, considérons un parallélipipède, tel 
que gf, GF, AB, AB' en soient quatre arêtes parallèles, les autres arêtes parallèles 
étant gA, A'G, fB, BF\ gA', A'G, Bf, B'F. Soient H le point de rencontre, à l’infini, 
du premier système d’arêtes parallèles; G' et G les points de rencontre, à l’infini, des 
arêtes des second et troisième systèmes respectivement ; h le point de rencontre des 
quatre diagonales du parallélipipède ; faisons la perspective de ce système, désignant 
chaque point de la projection par la même lettre : l’on voit sans peine que la figure 
plane, ainsi obtenue, a les propriétés en question.)