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MÉMOIRE SUR LES COURBES DU TROISIEME ORDRE. 
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A présent, en examinant la figure, on voit qu’il est permis de prendre pour A 1} A 2 , 
A 3 , A 4 les points A, A', F, f, et pour B lt B 2 , B 3) B 4 les points B, B', G, g, pour que 
les systèmes A 1} A 2 , A 3 , A 4 \ B 3 , B 2 , B 3 , B 4 aient la corrélation ci-devant trouvée. Le 
système C, G', H, h est supplémentaire à ces deux-ci. 
Toutes les propriétés que je viens de trouver sont telles qu’il y a à chacune une 
propriété correspondante que l’on peut obtenir par la théorie des polaires réciproques. 
Nous avons ainsi des propriétés non moins intéressantes des courbes de la troisième 
classe et du sixième ou quatrième ordre. 
En prenant pour la courbe du troisième ordre l’ensemble d’une section conique et 
d’une droite, pour que les tangentes en A, A' se rencontrent sur la courbe, il faut que 
A, A' soient situées sur la section conique de telle manière que AA' passe par le pôle 
de la droite à l’égard de la conique. Alors B, B' ; G, C' étant pris de la même manière, 
BG', B'C et BG, B'G' se rencontrent sur la droite. 
Les lignes tirées d’un point P quelconque de la conique, ou de la droite à A, B, C ; 
A', B', G', forment un faisceau en involution. 
Le premier théorème et la première partie du second sont très-bien connus ; je ne 
sais s’il en est de même de la dernière partie de ce théorème. 
ADDITION. 
La droite PP', menée par deux points P, P' d'une courbe du troisième ordre, qui 
correspondent toujours à une paire correspondante donnée de points A, A', est toujours 
tangente à une certaine courbe de la troisième classe. 
Pour démontrer ce théorème, imaginons une paire fixe B, B' de points qui corre 
sponde à la paire donnée A, A'. Soient P=0, Q = 0, R = 0, S = 0 les équations des 
lignes qui joignent A, A' avec B, B' ; l’équation de la courbe donnée du troisième ordre 
peut se mettre sous la forme 
CD- 
On peut toujours supposer, sans perte de généralité, que l’équation 
P+Q+R+S=0 
(2) 
soit identiquement vraie, car chaque équation de la forme P = 0 peut être censée con 
tenir une constante arbitraire qui en multiplie tous les termes. 
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