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MÉMOIRE SUR LES COURBES DU TROISIEME ORDRE. 
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et l’équation de la courbe se transforme en 
a £ 
7 8 A 
+4+^=0 
(3), 
e-R e + s 1 r 1 s 
ce que l’on peut écrire aussi sous la forme 
0 + (Xp + X + p) S — 0 + (vp + v + p)R 
(i9 + XP) (0 + pR) + (-6 + vS)(-0 + pS) ~ 
en déterminant convenablement les constantes X, p, v, p. En effet, en réduisant, les 
deux équations deviennent identiques au moyen des quatre conditions 
(4), 
•(5), 
8 = — k\p, 7 = — kvp, 1 
8 — £ = Jc\p (vp + v + p), 
y — oc = kvp (\p + X + p), J 
où k est une quantité arbitraire, de manière que des quantités X, p, v, p, il y en a une 
seule qui peut être prise à volonté. 
De l’équation (4) l’on déduit tout de suite cette autre forme, 
1 
P — X 
P (X -p 1) X (p + 1) 
+ 
p-v 
P {v + 1) _ v{p + 1)" 
0 + vS -0 + P S_ 
= 0 
0 + XR 0 + pR 
et de là nous voyons que les points donnés par les deux systèmes d’équations 
(0 + XR = 0, — 0 + vS = 0), \ 
(0 + pR = 0, — 0 + pS = 0), j 
correspondent toujours l’un à l’autre et aux points donnés par les deux systèmes 
(6); 
(7) 
(0 = 0, R = 0),\ 
(0 = 0, S = 0), J 
•(8), 
c’est-à-dire aux points A, A'. 
On trouve assez facilement pour l’équation de la droite menée par les points déter 
minés par les deux systèmes (7), points que l’on peut prendre pour P et P', 
(pv — pX) 0 + Xp (v — p) R + vp (X — p) S = 0 (9), 
C0 + AR + BS = O (10), 
ou 
en faisant 
pC = pv - pX , "j 
pA = Xp (v — p), ^ 
pB = vp (X - p). J 
(11).